01. Числовые последовательности и их свойства. Предел числовой последовательности
17 мин
02. Предел числовой последовательности. Сумма бесконечной геометрической прогрессии
30 мин
03. Предел функции
19 мин
04. Определение производной, её физический и геометрический смысл. Алгоритм нахождения производной
22 мин
05. Примеры вычисления основных производных. Типовые задачи
19 мин
06. Таблица производных. Типовые задачи
28 мин
07. Правило дифференцирования. Типовые задачи
39 мин
08. Дифференцирование функции y = f(kx + m)
17 мин
09. Уравнение касательной к графику функции
21 мин
10. Применение производной для исследования функций на монотонность и экстремумы
25 мин
11. Применение производной для нахождения наибольшего и наименьшего значений непрерывной функции на промежутке
26 мин
12. Исследование функции y = 3x⁵ − 5x³ + 2 с помощью производной
16 мин
13. Исследование функции y = 3x⁵ − 5x³ + 2 без производной
19 мин
14. Исследование функции, её график, сопутствующие задачи на примере функции f(x) = 3x⁵ − 5x³ + 2. Задача с параметром
13 мин
15. Методика исследования функций на примере f(x) = x√(2-x)
11 мин
16. Построение графика функции f(x) = x³ − 3x + 4 с помощью производной, сопутствующие задачи
24 мин
17. Исследование функции y = (x³ − 4) : (x − 1)³ и сопутствующие задачи
23 мин
18. Дифференцирование сложных функций. Задача из практики подготовки к ЕГЭ по математике
35 мин
19. Планиметрические задачи на экстремум
28 мин
20. Производная в задачах на прямоугольный параллелепипед
23 мин
21. Приближённые вычисления
16 мин
22. Задачи на расстояние от точки до кривой
22 мин
23. Типовые задачи на производную с иррациональными функциями
24 мин
24. Типовые задачи на производную с тригонометрическими функциями. Функция f(x) = cos²x − cos x
16 мин
25. Типовые задачи на касательную
16 мин
14. Исследование функции, её график, сопутствующие задачи на примере функции f(x) = 3x⁵ − 5x³ + 2. Задача с параметром
Видео доступно по абонементу
Повторение
На этом занятии будет продолжена тема исследование функции с помощью производной. На предыдущем уроке была подробно рассмотрена функция . Выяснили, что эта функция допускает подробное исследование с помощью производной. Была найдена производная, интервалы знакопостоянства, промежутки монотонности функции, точки экстремума.
Сопутствующие задачи
Найти множество значений функции..
В связи с этим – типовая задача.
1. Дано:. При каких значениях параметра, данное уравнение имеет хотя бы одно решение?
Методика решения подобных задач.
Построить график функции из левой части ( построили на предыдущем уроке). Поскольку множество значений функции любое действительное число. Это означает, что при любом, хотя бы один корень есть.
Ответ: приуравнение имеет хотя бы одно решение.
Найти, при которых нет решений у данного уравнения.
Ответ : нет таких.
2. Дано:. Найти число корней уравнения, в зависимости от параметра.
Решение.
Мы не можем точно найти корень, даже если. Методика решения состоит в следующем.
1) Построить график функции(см. рис.1).
.
2) Рассечь график функции семейством прямых(см. рис.2).
3) Найти точки пересечения (их число) и выписать ответ.
и прямые.
Ответ:
1) при любом, уравнениеимеет одно решение. Можем охарактеризовать, где лежит это решение:.
2) При- уравнение имеет два решения.
3) При- уравнение имеет три различных корня.
4) Если, то уравнение имеет два решения.
5) При любом- уравнение имеет единственное решение.
Частные случаи задачи с параметром
1. Найти наибольшее значение параметра, при которых уравнениеимеет два различных решения.
Два различных решения имеем прии при.
Ответ: таким образом, наибольшее значение параметрапри котором уравнение имеет два различных решения.
2. Найти число значений параметра, при каждом из которых уравнениеимеет ровно два различных решения.
Решение.
Таких параметров – два. Прии приуравнение имеет два решения .
Ответ: 2.
3. Найти все значения параметра, при которых уравнениеимеет ровно три различных решения.
Решение.
В общей задаче, где мы перебрали всеи для каждого дали ответ, есть ответ на поставленную задачу. Три решения есть, когдаменяется от нуля до четырех.
Ответ:.
4. Найти натуральные значения параметра, при которых уравнение имеет три различных решения.
Эта задача отличается от предыдущей тем, что среди промежуткавыбрать натуральные значения. Итак, при, прии при- натуральных числах, уравнение имеет три различных корня.
Ответ:,,.
Итог урока
Итак, на уроке была рассмотрена методика построения графика функции пятой степени с помощью производной. Были найдены промежутки монотонности функции, точки максимума и точки минимума функции. Также были рассмотрены сопутствующие задачи. Наиболее сложная из них такова: дано уравнение, найти число решений уравнения с параметром. На уроке сформулирована методика решения такой задачи. Главным в такой задаче – построение графика функциис помощью производной. Потом этот график нужно рассекать семейством прямых, при разных, и считывать ответ.
Список рекомендованной литературы
Алгебра и начала анализа, 10 класс (в двух частях). Учебник для общеобразовательных учреждений (профильный уровень) под ред. А. Г. Мордковича. –М.: Мнемозина, 2009.
Алгебра и начала анализа, 10 класс (в двух частях). Задачник для общеобразовательных учреждений (профильный уровень) под ред. А. Г. Мордковича. –М.: Мнемозина, 2007.
Виленкин Н.Я., Ивашев-Мусатов О.С., Шварцбурд С.И. Алгебра и математический анализ для 10 класса (учебное пособие для учащихся школ и классов с углубленным изучением математики).-М.: Просвещение, 1996.
Галицкий М.Л., Мошкович М.М., Шварцбурд С.И. Углубленное изучение алгебры и математического анализа.-М.: Просвещение, 1997.
Сборник задач по математике для поступающих во ВТУЗы (под ред. М.И.Сканави).-М.:Высшая школа, 1992.
Мерзляк А.Г., Полонский В.Б., Якир М.С. Алгебраический тренажер.-К.: А.С.К., 1997.
ЗвавичЛ.И., Шляпочник Л.Я., Чинкина Алгебра и начала анализа. 8-11 кл.: Пособие для школ и классов с углубленным изучением математики (дидактические материалы).-М.: Дрофа, 2002.
Саакян С.М., Гольдман А.М., Денисов Д.В. Задачи по алгебре и началам анализа (пособие для учащихся 10-11 классов общеобразов. учреждений).-М.: Просвещение, 2003.
Карп А.П. Сборник задач по алгебре и началам анализа : учеб. пособие для 10-11 кл. с углубл. изуч. математики.-М.: Просвещение, 2006.
Глейзер Г.И. История математики в школе. 9-10 классы (пособие для учителей).-М.: Просвещение, 1983.
Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет
Интернет-портал «mathematics.ru» (Источник).
Сделай дома
№45.11 (б), 45.12 (б) ( Алгебра и начала анализа, 10 класс (в двух частях). Задачник для общеобразовательных учреждений (профильный уровень) под ред. А. Г. Мордковича. –М.: Мнемозина, 2007.)
"