01. Числовые последовательности и их свойства. Предел числовой последовательности
17 мин
02. Предел числовой последовательности. Сумма бесконечной геометрической прогрессии
30 мин
03. Предел функции
19 мин
04. Определение производной, её физический и геометрический смысл. Алгоритм нахождения производной
22 мин
05. Примеры вычисления основных производных. Типовые задачи
19 мин
06. Таблица производных. Типовые задачи
28 мин
07. Правило дифференцирования. Типовые задачи
39 мин
08. Дифференцирование функции y = f(kx + m)
17 мин
09. Уравнение касательной к графику функции
21 мин
10. Применение производной для исследования функций на монотонность и экстремумы
25 мин
11. Применение производной для нахождения наибольшего и наименьшего значений непрерывной функции на промежутке
26 мин
12. Исследование функции y = 3x⁵ − 5x³ + 2 с помощью производной
16 мин
13. Исследование функции y = 3x⁵ − 5x³ + 2 без производной
19 мин
14. Исследование функции, её график, сопутствующие задачи на примере функции f(x) = 3x⁵ − 5x³ + 2. Задача с параметром
13 мин
15. Методика исследования функций на примере f(x) = x√(2-x)
11 мин
16. Построение графика функции f(x) = x³ − 3x + 4 с помощью производной, сопутствующие задачи
24 мин
17. Исследование функции y = (x³ − 4) : (x − 1)³ и сопутствующие задачи
23 мин
18. Дифференцирование сложных функций. Задача из практики подготовки к ЕГЭ по математике
35 мин
19. Планиметрические задачи на экстремум
28 мин
20. Производная в задачах на прямоугольный параллелепипед
23 мин
21. Приближённые вычисления
16 мин
22. Задачи на расстояние от точки до кривой
22 мин
23. Типовые задачи на производную с иррациональными функциями
24 мин
24. Типовые задачи на производную с тригонометрическими функциями. Функция f(x) = cos²x − cos x
16 мин
25. Типовые задачи на касательную
16 мин
17. Исследование функции y = (x³ − 4) : (x − 1)³ и сопутствующие задачи
Видео доступно по абонементу
Исследование графика функции без производной
Дано:.
Надо исследовать эту функцию, построить график, найти промежутки монотонности, максимумы минимумы и какие задачи сопутствуют знанию об этой функции.
Сначала полностью воспользуемся той информацией, которая дает функция без производной.
1. Найдем интервалы знакопостоянства функции и построим эскиз графика функции:
1) Найдем .
2) Корни функции:, отсюда
3) Интервалы знакопостоянства функции (см. рис.1):
Теперь знаем, что на промежуткеиграфик находится над ось Х, на промежутке- под осью Х.
2. Построим график в окрестности каждого корня (см. рис.2).
3. Построим график функции в окрестности каждой точки разрыва области определения. Область определения разрывается в точке. Если значениеблизко к точке, то значение функции стремится к(см. рис.3).
4. Определим, как ведет график в окрестности бесконечно удаленных точек:
Запишем с помощью пределов . Важно, что при очень больших, функция почти не отличается от единицы.
Исследование графика функции с помощью производной
Найдем производную, интервалы ее знакопостоянства и они будут интервалами монотонности для функции, найдем те точки, в которых производная равна нулю, и выясним, где точка максимума, где точка минимума.
Отсюда,. Эти точки являются внутренними точками области определения. Выясним, какой знак производной на интервалах, и какая из этих точек является точкой максимума, а какая - точкой минимума (см. рис.4).
Из рис. 4 видно, что точка- точка минимума, точка- точка максимума. Значение функции в точкеравно. Значение функции в точкеравно 4. Теперь построим график функции (см. рис.5).
.
Таким образом, построили график функции. Опишем его. Запишем интервалы, на которых функция монотонно убывает:,- это те интервалы, где производная отрицательна. Функция монотонно возрастает на интервалахи.
- точка минимума,- точка максимума.
Сопутствующие задачи
Задача.
Найти число корней уравненияв зависимости от значений параметра.
Решение.
1. Построить график функции. График этой функции построен выше (см. рис.5).
2. Рассечь график семейством прямыхи выписать ответ (см. рис.6).
.
Ответ:
1) При- одно решение.
2) При- два решения.
3) При- три решения.
4) При- два решения.
5) При- три решения.
6) При- два решения.
7) При- одно решение.
Итог урока
Таким образом, решили одну из важных задач, а именно, нахождение числа решений уравнения в зависимости от параметра. Могут быть разные частные случаи, например, при какомбудет одно решение или два решения, или три решения. Заметим, что эти частные случаи, все ответы на эти частные случаи содержатся в общем ответе.
Список рекомендованной литературы
Алгебра и начала анализа, 10 класс (в двух частях). Учебник для общеобразовательных учреждений (профильный уровень) под ред. А. Г. Мордковича. –М.: Мнемозина, 2009.
Алгебра и начала анализа, 10 класс (в двух частях). Задачник для общеобразовательных учреждений (профильный уровень) под ред. А. Г. Мордковича. –М.: Мнемозина, 2007.
Виленкин Н.Я., Ивашев-Мусатов О.С., Шварцбурд С.И. Алгебра и математический анализ для 10 класса (учебное пособие для учащихся школ и классов с углубленным изучением математики).-М.: Просвещение, 1996.
Галицкий М.Л., Мошкович М.М., Шварцбурд С.И. Углубленное изучение алгебры и математического анализа.-М.: Просвещение, 1997.
Сборник задач по математике для поступающих во ВТУЗы (под ред. М.И.Сканави).-М.:Высшая школа, 1992.
Мерзляк А.Г., Полонский В.Б., Якир М.С. Алгебраический тренажер.-К.: А.С.К., 1997.
ЗвавичЛ.И., Шляпочник Л.Я., Чинкина Алгебра и начала анализа. 8-11 кл.: Пособие для школ и классов с углубленным изучением математики (дидактические материалы).-М.: Дрофа, 2002.
Саакян С.М., Гольдман А.М., Денисов Д.В. Задачи по алгебре и началам анализа (пособие для учащихся 10-11 классов общеобразов. учреждений).-М.: Просвещение, 2003.
Карп А.П. Сборник задач по алгебре и началам анализа : учеб. пособие для 10-11 кл. с углубл. изуч. математики.-М.: Просвещение, 2006.
Глейзер Г.И. История математики в школе. 9-10 классы (пособие для учителей).-М.: Просвещение, 1983.
Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет
Интернет-портал «mathematics.ru» (Источник).
Сделай дома
№ 45.7, 45.10 (Алгебра и начала анализа, 10 класс (в двух частях). Задачник для общеобразовательных учреждений (профильный уровень) под ред. А. Г. Мордковича. –М.: Мнемозина, 2007.)
"