13. Комплексные числа. Профильный уровень

Первичные представления о множестве комплексных чисел

Числа — наш инструмент для размышления о количестве. Мы неоднократно расширяли понятие числа, сохраняя его основные свойства и действия с ним. Сначала мы использовали только натуральные числа для подсчёта количества. Затем ввели понятие отрицательных чисел и нуля, получив множество целых чисел. Далее, когда речь зашла о частях, полезным инструментом оказались дроби, которые привели нас к рациональным числам. Наконец, задача о длине диагонали квадрата привела нас к иррациональным числам.

Каждый раз мы расширяли множество чисел, разрешая новую операцию.

Отрицательные числа — это результат вычитания из меньшего числа большего, например: .

Рациональные числа — это результат деления не нацело, например: .

Иррациональные числа — это результат решения квадратных уравнений. Например, у уравнения  два иррациональных корня .

При решении квадратных уравнений мы всегда подчёркивали, что дискриминант должен быть неотрицательным, иначе корней нет. Мы исходно определили арифметический квадратный корень как корень из неотрицательного числа: ,  — арифметический квадратный корень из числа .

Настало время убрать и этот запрет.

Множество действительных чисел отличается от множеств натуральных, целых и рациональных тем, что у него нет «дырок» на числовой оси, то есть оно заполняет числовую ось целиком. Кажется, что множество действительных чисел — последнее и дальше двигаться некуда.

Среди действительных чисел нет такого, квадрат которого был бы равен .

Обозначим как  такое число, что . Это число  называется мнимой единицей.

Тогда уравнение имеет два решения:

Объекты вида , где  и  — действительные (вещественные) числа, называются комплексными числами. Ударение ставится на букву е: комплÉксное число.

Множество комплексных чисел обозначается буквой ℂ.

Число  называется действительной частью, а число  называется мнимой частью комплексного числа . Они также имеют свои обозначения:

— действительная часть ,

— мнимая часть .

Иногда скобки в этой записи опускают: , .

Если , то комплексное число имеет вид  и считается действительным числом. То есть множество действительных чисел является подмножеством комплексных чисел.

Само число  в такой форме будет выглядеть так: .

Геометрическая интерпретация комплексного числа — точка на декартовой плоскости, где  — это абсцисса,  — это ордината. Плоскость в этом случае называют комплексной.

Часто удобно отождествлять число с соответствующим радиус-вектором.

Действительные числа обозначаются точками с ординатами, равными нулю, то есть на оси . Таким образом, ось  — это и есть прежняя числовая ось. Её называют действительной осью.

Мнимая единица  имеет координаты (0; 1) и находится на оси . Также на этой оси находятся все остальные мнимые числа, действительная часть которых равна нулю, например . Такие числа называются чисто мнимыми, а ось  называется мнимой осью.

Операции с комплексными числами

Чтобы работать с новыми числами, нужно научиться выполнять действия с ними. Вводя операцию с комплексными числами, будем обращать внимание, чтобы её определение соответствовало этой же операции с действительными числами.

Два комплексных числа называются равными тогда и только тогда, когда равны их действительные и мнимые части: . Это согласуется с геометрической интерпретацией: две точки совпадают, только если равны обе их координаты.

Противоположным для числа  называется число. Например, для числа  противоположным будет число . Очевидно, что это определение соответствует действительному случаю: если , то противоположное число .

Комплексным нулём называется число, у которого равны нулю и действительная, и мнимая части: . Комплексный ноль является действительным числом.

Сложение и вычитание комплексных чисел определяются следующим образом: отдельно складываются (или вычитаются) действительные части и отдельно — мнимые.

Примеры:

Если мнимые части равны нулю, то мы получаем обычное сложение (или вычитание) действительных чисел.

Свойства сложения комплексных чисел соответствуют свойствам сложения действительных чисел. Пусть  — произвольные комплексные числа.

Умножение комплексных чисел производится по известному правилу умножения двучлена на двучлен — каждое слагаемое в первых скобках нужно умножить на каждое слагаемое во вторых скобках:

Если , то  — обычное умножение действительных чисел.

Пример:

Свойства умножения комплексных чисел соответствуют свойствам умножения действительных чисел. Пусть  — произвольные комплексные числа.

Доказательство дистрибутивности.

Доказать:

Доказательство:

Пусть .

Рассмотрим левую часть исследуемого равенства:

Рассмотрим правую часть исследуемого равенства:

Получили одинаковые выражения.

Числа  и  называются сопряжёнными. Например,  и  — комплексно-сопряжённые. Эти пары хороши тем, что их произведение является действительным положительным числом, например: . Увидеть, что это верно для любой пары сопряжённых чисел, можно из формулы разности квадратов: .

Пусть , тогда для него можно найти ему обратное . Если , то . Домножим числитель и знаменатель на сопряжённое знаменателю число:

.

Получили:

, .

Пример:

Найти обратное к числу .

Решение:

Проверим результат умножением:

Деление комплексных чисел производится по правилу:

Мы умножаем на сопряжённое к знаменателю число обе части дроби, чтобы добиться действительного знаменателя.

Пример:

Мы научились выполнять основные арифметические операции с комплексными числами. Однако не удалось определить сравнение — какое число больше, а какое меньше. Это понятие отсутствует для комплексных чисел.

Тригонометрическая форма комплексного числа

Вернёмся к геометрической интерпретации комплексного числа . Его действительная и мнимая части — координаты числа на комплексной плоскости.

Положение точки не обязательно задавать с помощью декартовых прямоугольных координат. Можно использовать полярные координаты. Рассмотрим вместо точки радиус-вектор.

Радиус-вектор можно описать длиной и углом, который он составляет с осью .

Длина вектора  называется модулем (абсолютной величиной) числа . Записывается .

Угол  называется аргументом числа . Он измеряется в радианах. Записывается .

Слово «модуль» и для вещественного числа, и для комплексного имеет один и тот же смысл — расстояние до нуля. Для вещественного числа такое расстояние могло принимать значения  и . Грубо говоря, если провести окружность с центром в точке 0 и радиусом , она пересечёт ось только в двух точках:  и .

Когда мы выходим в плоскость, все точки окружности будут иметь одинаковый модуль.

Несложно установить связь между полярными и прямоугольными координатами:

.

Тогда .

Запись  называется тригонометрической формой комплексного числа.

Запись  называется алгебраической формой комплексного числа.

Переход от одной формы записи к другой не сложен.

Пример:

Рассмотрим число .

Выполним вычисления: .

Положение точки  можно описать или парой полярных координат (угол и длина вектора), или парой декартовых координат ( и ). Эти два варианта соответствуют двум формам записи комплексного числа — тригонометрической и алгебраической.

Пример:

Пусть теперь, наоборот, комплексное число  записано в алгебраической форме: .

Модуль числа находится по теореме Пифагора:

.

Аргумент, то есть угол между вектором и осью , легче всего получить через его тангенс:

.

Угол находится в первой четверти, так как обе декартовы координаты положительны:

.

Теперь можем записать число в тригонометрической форме:

.

В общем случае формулы перехода выглядят следующим образом:

Знание тангенса даёт нам аргумент только с точностью до поворота на . Но по знакам  и  мы легко выберем нужную четверть.

Единственное число, для которого не определён аргумент, — это ноль.

Тригонометрическая форма упрощает некоторые расчёты. Например, перемножим два числа в тригонометрической форме:

В этих вычислениях мы использовали формулы синуса и косинуса сумм:

.

Получили правило: чтобы перемножить два числа в тригонометрической форме, нужно перемножить их модули и сложить аргументы.

Пример:

.

Посмотрим, что происходит при этом на комплексной плоскости.

При перемножении двух чисел мы один сомножитель поворачиваем на угол, взятый у другого, и делаем длину вектора равной произведению длин сомножителей.

Деление — процедура, обратная к умножению. Она сводится к делению модулей и вычитанию аргументов.

Пример:

Чтобы возвести комплексное число  в степень , необходимо  раз умножить его модуль сам на себя и  раз сложить аргумент сам с собой, то есть возвести модуль в степень  и умножить аргумент на .

Пусть , тогда .

Эта формула называется формулой Муавра — по фамилии её автора. Её можно доказать, используя выведенную раньше формулу для произведения двух комплексных чисел в тригонометрической форме. Докажем формулу для : , при ,  получим:

.

Мы получили, что результатом будет число, аргумент которого равен сумме аргументов: . Эти рассуждения можно продолжить для .

Обратная процедура не однозначна.

Если мы хотим извлечь корень -й степени из числа , то нам нужны числа, которые в степени  дают :

.

Но аргументом числа  можно считать все углы вида .

То есть корнями будут все числа вида:

При  эти числа будут различными, а все остальные значения  дадут одно из этих значений. Из этого следует, что для любого комплексного числа, не равного нулю, существует ровно  различных корней -й степени.

Найдём все корни четвёртой степени из единицы. Раньше мы знали только два числа, которые в четвёртой степени давали единицу, — это 1 и –1. Единица — это комплексное число . Воспользуемся новой формулой и извлечём корень.

при .

Получаем:

при  значение ,

при  значение ,

при  значение ,

при  значение .

Мы нашли два уже ранее нам известных корня и ещё два. Раньше мы не видели двух корней, так как смотрели только на действительную ось .

Все корни расположены на окружности радиусом 1 и находятся на одном расстоянии друг от друга. Эту геометрическую интерпретацию можно использовать для поиска корней в лёгких случаях.

Найдём все корни третьей степени из 1. Первый способ: воспользуемся формулой, как в предыдущем случае.

,

, .

Второй способ: распределим корни на окружности так, чтобы они были удалены друг от друга на одно расстояние. Радиус окружности равен 1, ведь модуль каждого корня равен 1. Один корень мы уже знаем — это единица. Остальные отличаются на 120 градусов.

Получаем ещё два корня с аргументами  и . Их можно записать и в тригонометрической, и в алгебраической форме:

,

.

Решение квадратных уравнений в комплексных числах

Любое квадратное уравнение имеет решения в комплексных числах.

Преобразуем стандартный вид квадратного уравнения:

Величину в правой части называют дискриминантом и обозначают буквой :

.

Если , то уравнение  имеет одно решение:

,

.

Если , то уравнение  имеет два различных решения:

,

.

Если , то раньше для нас это означало, что уравнение  не имеет решений. Но теперь для нас существуют два комплексных корня из отрицательного числа . Оба эти числа располагаются на мнимой оси. Их модуль равен . Они равны  и , где под корнем положительное число. При возведении в квадрат оба этих числа дают :

.

Тогда:

,

.

В комплексном анализе запись вида  нужно использовать с осторожностью. Ранее она означала арифметический корень, и он был определён только для неотрицательных чисел. В комплексном смысле такой корень принимает два различных значения, а значит, плюс/минус можно в формуле корней опустить.

Формула корней квадратного уравнения имеет вид:

Пример: решим уравнение .

Мы используем  вместо , чтобы подчеркнуть, что переменная комплексная.

, .

Проверим себя подстановкой.

Подставим первый корень:

Аналогично можно проверить второй корень.

Когда мы имеем дело с комплексными числами, у любого квадратного уравнения всегда будет два корня. В случае когда дискриминант равен нулю, говорят о двух одинаковых корнях. Это справедливо для любого уравнения -й степени с целыми коэффициентами — у него всегда будет  корней в комплексной плоскости.

Это позволяет не только разложить любой многочлен на  линейных множителей, но и облегчить поиск корней таких уравнений в целом: теперь мы всегда знаем, сколько их всего должно быть.

Конечно, задачи этим не исчерпываются. Комплексные числа используются в самых разных областях науки, например, в электротехнике переход к комплексной форме сильно упрощает расчёты токов с разными начальными фазами.

Всеми этими вопросами занимается предмет комплексный анализ, выходящий за рамки школьной программы. Те, кто будут изучать математические и технические специальности, познакомятся с ним подробно в университете.

Список литературы

1. Мордкович А. Г., Семенов П. В. Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Алгебра и начала математического анализа (в 2 частях). 10 класс. — М.: Мнемозина.

2. Никольский С. М., Потапов М. К., Решетников Н. Н. Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Алгебра и начала математического анализа. 10 класс. — М.: Просвещение.

Домашнее задание

1. Найдите противоположное, сопряжённое и обратное числа для комплексного числа.

2. Пусть ,. Выполните действия:

а) ;

б) ;

в) ;

г) .

3. Докажите ассоциативность:

а) сложения комплексных чисел;

б) умножения комплексных чисел.

4. Представьте число  в алгебраической форме.

5. Представьте число  в тригонометрической форме.

6. Пусть , . Выполните действия:

а) ;

б) .

7. Извлеките корень 6-й степени из числа 1 двумя способами: с помощью формулы и с помощью геометрической интерпретации.

8. Решите уравнение  в комплексных числах.