01. Числовые последовательности и их свойства. Предел числовой последовательности
17 мин
02. Предел числовой последовательности. Сумма бесконечной геометрической прогрессии
30 мин
03. Предел функции
19 мин
04. Определение производной, её физический и геометрический смысл. Алгоритм нахождения производной
22 мин
05. Примеры вычисления основных производных. Типовые задачи
19 мин
06. Таблица производных. Типовые задачи
28 мин
07. Правило дифференцирования. Типовые задачи
39 мин
08. Дифференцирование функции y = f(kx + m)
17 мин
09. Уравнение касательной к графику функции
21 мин
10. Применение производной для исследования функций на монотонность и экстремумы
25 мин
11. Применение производной для нахождения наибольшего и наименьшего значений непрерывной функции на промежутке
26 мин
12. Исследование функции y = 3x⁵ − 5x³ + 2 с помощью производной
16 мин
13. Исследование функции y = 3x⁵ − 5x³ + 2 без производной
19 мин
14. Исследование функции, её график, сопутствующие задачи на примере функции f(x) = 3x⁵ − 5x³ + 2. Задача с параметром
13 мин
15. Методика исследования функций на примере f(x) = x√(2-x)
11 мин
16. Построение графика функции f(x) = x³ − 3x + 4 с помощью производной, сопутствующие задачи
24 мин
17. Исследование функции y = (x³ − 4) : (x − 1)³ и сопутствующие задачи
23 мин
18. Дифференцирование сложных функций. Задача из практики подготовки к ЕГЭ по математике
35 мин
19. Планиметрические задачи на экстремум
28 мин
20. Производная в задачах на прямоугольный параллелепипед
23 мин
21. Приближённые вычисления
16 мин
22. Задачи на расстояние от точки до кривой
22 мин
23. Типовые задачи на производную с иррациональными функциями
24 мин
24. Типовые задачи на производную с тригонометрическими функциями. Функция f(x) = cos²x − cos x
16 мин
25. Типовые задачи на касательную
16 мин
15. Методика исследования функций на примере f(x) = x√(2-x)
Видео доступно по абонементу
Введение
Методика исследования функции, построение ее графика, включает в себя 2 этапа:
1. Исследование без производной
2. Исследование с помощью производной
Исследование функции без производной
1. Определим ОДЗ функции
Подкоренное выражение не должно быть меньше , следовательно, должен быть меньше или равен .
:
2. Найдем корни функции
при,
Отметим на числовой прямой найденные значения (см. Рис. 1), таким образом, мы выделили точки возможного изменения знака функции.
3. Определим интервалы знакопостоянства и знаки функции
На интервале функция отрицательна. На интервале функция положительна (знак функции на интервале определяется подстановкой вместо любого значения из данного интервала).
Таким образом, на интервале график расположении ниже оси абсцисс, а на интервале – выше данной оси (см. Рис. 2).
4. Построим эскиз графика функции в окрестностях:
а) корней функции (на рисунке 3 выделен красным цветом);
б) точек разрыва (для данной функции точек разрыва нет);
в) бесконечно удаленных точек (для) (на рисунке 3 выделен зеленым цветом). ОДЗ у данной функции таково, что стремится к минус бесконечности, при этом также стремится к минус бесконечности.
Следовательно, мы получили примерное изображение графика функции (см. Рис. 3).
Исследование функции при помощи производной
1. Вычислим производную функции
2. Определим критические точки производной
Для этого приравняем производную к нулю:
3. Определим интервалы знакопостоянства и знаки производной на них
Для этого определим ОДЗ производной:
Отложим на числовой прямой найденные значения критической точки и ОДЗ, таким образом, мы выделили точки возможного изменения знака производной.
На интервале производная больше нуля, значит, сама функция возрастает; на интервалепроизводная меньше нуля, значит, функция убывает (см. Рис. 4).
и интервалы знакопостоянства и знаки производной на них
4. Исследуем точки экстремума функции
В точке функция достигает максимума. Определим значение функции в этой точке:
Полученные результаты сведем в таблицу:
1 строка: интервалы знакопостоянства производной и критическая точка;
2 строка: значения производной на каждом интервале;
3 строка: возрастание и убывание функции на интервалах знакопостоянства производной, значение функции в критической точке;
4 строка: точка максимума.
f'(x) | |||
|
|
|
На рисунке 5 показан график функции .
Результаты исследования функции
при
при
– точка максимума
Список литературы
Мордкович А.Г., Семенов П.В. Алгебра и начала математического анализа, 10 класс. В 2 ч. Ч. 1. Учебник для учащихся общеобразовательных учреждений. – М.: Мнемозина, 2009.
Мордкович А.Г. Алгебра и начала математического анализа, 10 класс. В 2 ч. Ч. 2. Задачник для учащихся общеобразовательных учреждений. – М.: Мнемозина, 2009.
Виленкин Н.Я., Ивашев-Мусатов О.С., Шварцбурд С.И. Алгебра и математический анализ для 10 класса (учебное пособие для учащихся школ и классов с углубленным изучением математики). – М.: Просвещение, 1996.
Колягин Ю.М., Сидоров Ю.В., Ткачева М.В., Федорова М.В., Шабунин М.И. Алгебра и начала математического анализа, 10 класс. Учебник для учащихся общеобразовательных учреждений (профильный уровень). – М.: Мнемозина, 2009.
Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет
Домашнее задание
Задание 45.8, 45.9 (стр. 265) – Мордкович А.Г. Алгебра и начала математического анализа, 10 класс. В 2 ч. Ч. 2. Задачник.
Найти интервалы возрастания и убывания и точки экстремума для функции: