14. Многочлены. Профильный уровень

Бином Ньютона

Частным случаем бинома являются формулы квадрата и куба суммы:

 и .

Получили мы их прямым перемножением:

,

В общем случае выражение  называют биномом Ньютона.

Посмотрим, как вычислить бином без прямого перемножения. Для этого вспомним некоторые факты из комбинаторики.

Сколько слов (необязательно осмысленных) можно составить из слова «РЕСПУБЛИКА»?

Начнём писать произвольное слово из этих букв. Первую букву можно выбрать десятью способами. Вторую выбираем из оставшихся девяти, то есть девятью способами. Для следующей буквы восемь способов и так далее. Девятая буква выбирается двумя способами, последняя ― одним. Таким образом, всего способов .

Обозначение  называется количеством перестановок из 10.

В общем случае количество перестановок из элементов равно  («эн факториал»).

.

С ростом  факториал растёт очень быстро, так что в уме посчитать его получится только для достаточно небольших чисел:

,

,

,

,

,

,

…

― количество перестановок в слове «РЕСПУБЛИКА».

Договоримся, что количество способов переставить элементы пустого множества равно единице: «не взять ни одного элемента» ― это один способ.

.

Слово «МАТЕМАТИКА» тоже содержит 10 букв, но некоторые буквы повторяются. Если поменять местами две одинаковые буквы, то слово не изменится. Значит, количество перестановок будет меньше, чем в слове «РЕСПУБЛИКА», где все буквы были различными.

Сделаем сначала все буквы разными, пронумеровав одинаковые буквы:

.

Теперь, когда все буквы разные, перестановок . Но какое бы слово мы ни построили, мы можем поменять местами две буквы М. Общее количество перестановок уменьшается в два раза. Букв А у нас целых три. Количество перестановок . Букв Т две. Количество перестановок .

Общее количество перестановок в слове «МАТЕМАТИКА» считается следующим образом:

Перестановок было больше трёх миллионов. Повтор буквы М сократил это количество в два раза, буквы А ― в шесть раз и буквы Т ― ещё в два раза.

На языке комбинаторики это записывается следующим образом:

В скобках записано перечисление количества букв каждого типа.

Теперь мы можем выписать формулу бинома Ньютона, то есть -ю степень суммы двух переменных:

Для начала мы можем расписать эту степень как произведение:

.

При раскрытии скобок мы будем брать из каждой скобки  или  и получать произведения длиной , где часть множителей будет  и часть , суммарная степень каждого такого произведения будет . Например, будет произведение, состоящее только из , то есть . Будут произведения, где только один множитель  и остальные . Этот множитель может быть взят из первых скобок, вторых и так далее из последних. Отличаться такие произведения будут только местом, где стоит . Поскольку их  штук, то мы получим  штук таких одинаковых произведений, которые мы можем сложить и получить слагаемое .

То есть произведений будет много, но все они будут иметь один из следующих видов:

.

Найдём, сколько всего будет произведений вида .

Нужно ответить, сколько существует перестановок из  штук букв  и  штук букв .

.

Таким образом, мы можем выписать формулу бинома Ньютона:

.

Коэффициенты в формуле бинома  называются биномиальными.

Более коротко эта формула записывается следующим образом:

.

Это сумма, где первое слагаемое берётся при , второе ― при  и так далее до .

Биномиальный коэффициент ― это не только количество перестановок, но и число сочетаний:

.

Чтобы вспомнить эту тему, вы можете посмотреть урок по комбинаторике.

Формулу бинома Ньютона часто можно увидеть именно в такой форме:

.

Проверим нашу формулу для 2-й степени:

Самостоятельно проведите проверку для 3-й степени и напишите формулу для 5-й степени.

Рассмотрим теперь более простой способ отыскания биномиальных коэффициентов. Запишем бином для первых четырёх степеней:

,

,

,

.

Выпишем теперь только биномиальные коэффициенты, без переменных  и , и поставим сверху единицу. Полученная запись называется треугольником Паскаля.

Его можно продолжить, вычисляя по формуле биномиальные коэффициенты:

,

.

Здесь можно заметить простую закономерность: каждая строка начинается и заканчивается единицей, а все остальные числа получаются суммой чисел, стоящих над ним по обе стороны.

Если эта закономерность верна, то треугольник Паскаля можно очень быстро продлить ещё на несколько строчек без использования формулы биномиальных коэффициентов.

Чтобы понять, какой степени бинома соответствует строчка коэффициентов, можно посчитать её номер, но легче посмотреть на второй коэффициент в строке, который идёт сразу после единицы.

Например, строка со вторым числом 6 соответствует 6-й степени:

.

Мы с вами только заметили логику расположения коэффициентов в треугольнике, но не доказали, что это так для всего треугольника. Доказательство вы можете посмотреть в ответвлении.

Доказательство треугольника Паскаля

Выберем в строке с биномиальными коэффициентами степени  два соседних  и . В следующей строке между ними находится биномиальный коэффициент .

Докажем, что первые два в сумме дают третий:

.

Распишем первые два биномиальных коэффициента:

.

Если  в знаменателе первой дроби умножить на , получим . Аналогично, если  умножить на , получим . На те же величины нужно домножить и числители, чтобы дроби не изменились:

.

Теперь у дробей одинаковые знаменатели. Сложим их и вынесем в числителе  за скобки:

.

В числителе .

В итоге получаем .

Данная дробь ― это и есть нужный биномиальный коэффициент:

.

То есть в треугольнике Паскаля в самом деле в любой строке любые два соседних коэффициента дают в сумме коэффициент из следующей строки, находящийся между ними. Это позволяет достаточно легко найти все коэффициенты для бинома, например 10-й степени.

Это можно объяснить и по-другому, без использования формул комбинаторики. Рассмотрим выражение

Мы специально не выписываем значения коэффициентов, так как хотим доказать только закономерность треугольника Паскаля.

Рассмотрим, например, выражение . Как можно получить множитель  при умножении двух скобок ? Только умножая  на или  на . Тогда: , откуда .

То есть коэффициент нижней строки равен сумме двух коэффициентов из верхней строки. Для остальных можно провести аналогичные рассуждения.

Решение уравнений выше 2-й степени

Мы умеем решать любое квадратное уравнение. Для этого есть алгоритм ― формулы корней квадратного уравнения через дискриминант. Для уравнений 3-й и 4-й степеней есть свои формулы, которые тоже являются универсальными алгоритмами. Из-за их громоздкости и сложности вывода в школе они не изучаются, но на математических факультетах университетов вы с ними обязательно познакомитесь.

Тем не менее даже без этих формул мы можем решить ряд уравнений высших степеней.

Один пример ― биквадратные уравнения:

.

 Замена  приводит исходное уравнение к квадратному:

.

Находим его корни ,, и остаётся решить два уравнения:

, .

Повторить эту тему вы можете, посмотрев урок о биквадратных уравнениях.

Заметим, что данный метод можно расширить. Общий вид биквадратных уравнений:

.

Замена  снова приводит к квадратному уравнению:

.

Находим его корни , и остаётся решить два уравнения:

,.

Рассмотрим пример:

.

Сделаем замену:

.

Получим квадратное уравнение:

.

Его корни ,.

Остаётся решить два уравнения: ,.

Каждое из них имеет по два действительных корня. Всего получится четыре корня: 1, –1, ,.

Если же мы решаем уравнение во множестве комплексных чисел, то появятся ещё четыре корня: ,,,.

Другой пример. Решим уравнение:

.

Не очень понятно, что с ним делать. Но если его переписать вот в таком виде:, то всё становится очень просто, уравнение имеет корни 1, 2, 3. Проверить, что обе записи ― эквиваленты, можно, раскрыв скобки во втором уравнении.

Более того, вы с лёгкостью методом интервалов можете решить неравенство

.

А значит, и неравенство, полученное из исходного уравнения:

.

Разложить на множители левую часть такого уравнения (любой степени) ― это и значит решить уравнение (или неравенство).

Как же разложить на множители левую часть уравнения? Посмотрим на неё ещё раз:

.

Попробуем подобрать хотя бы один корень. Если вместо  будет стоять единица, то многочлен будет равен нулю. Вот мы и нашли один корень .

Но если наше выражение раскладывается на множители и даёт при  ноль, то резонно предположить, что в разложении есть множитель  и ещё какая-то часть 2-й степени:

.

Выражение в первых скобках обращает в ноль многочлен, если вместо х подставить 1 (отвечает за наличие корня 1), а выражение во вторых скобках должно быть 2-й степени, ведь после раскрытия скобок должна получиться 3-я степень. Остаётся найти это выражение во вторых скобках.

Поскольку , то искомое выражение ― это частное двух многочленов: .

Такое деление удобно проводить уголком, аналогично тому, как мы делим одно число на другое. Запишем слева делимое, справа ― делитель.

Подберём множитель таким образом, чтобы произведение имело такой же старший член, что и делимое, а именно .

Умножаем этот подобранный член на  сверху и записываем результат.

Вычитаем из верхнего нижнее.

Нужно подобрать следующий член, чтобы после умножения получилось . Это .

Умножаем  на  и вычитаем результат.

Подбираем последний член.

Получился остаток 0. Деление закончено:

.

Следовательно,

.

Осталось разложить последнее выражение на множители. Это стандартная задача, её вы можете решить разными способами:

.

Таким образом, .

Посмотрим, как именно мы произвели деление уголком. Мы из исходного многочлена 3-й степени вычли последовательно три выражения, каждое из которых получено как произведение  на подобранный член, и получили ноль:

.

Если перенести все эти слагаемые в правую часть и вынести за скобку , то мы и получаем:

.

Рассмотрим общий случай. Если для многочлена  степени  мы знаем корень , то всегда ли можно выделить такой множитель , где  имеет степень ?

На этот вопрос отвечают теорема Безу и следствие из неё. Для начала определим деление многочлена на многочлен по аналогии с делением числа на число.

Пусть есть два числа  и . Если p представлен в виде , где , то говорят, что  поделено на  с остатком . Пример: , здесь 25 поделено на 6 с остатком, остаток равен 1.

Аналогично: пусть есть два многочлена  и . Если  представлен в виде , где степень  < степени , то говорят, что  поделён на  с остатком .

Пример: , здесь  поделён на  с остатком, остаток .

Как любое целое число можно поделить на другое целое (не равное нулю) с остатком единственным образом, точно так же и любой многочлен можно поделить с остатком на любой другой (не равный нулю) единственным образом.

Теорема Безу рассматривает частный случай такого деления, а именно деление на двучлен . Поделим произвольный многочлен  на выражение  с остатком, где ― произвольное число: , поскольку степень остатка должна быть меньше степени делителя , то есть меньше единицы. Тогда остаток ― это многочлен нулевой степени, то есть это просто число:

.

Мы можем найти это число. Подставим вместо  число :

,

.

В этом и заключается теорема Безу:

.

Остаток от деления многочлена  на двучлен  равен .

Простейшим следствием из теоремы Безу будет следующее: поделимна двучлен, где ― корень многочлена:

.

Но так как ― корень, то .

Тогда .

Вот мы и получили обоснование этого факта.

Если ― корень многочлена , то его можно представить в виде произведения .

Например, подобрав для многочлена  корень 1, мы уверены, что его можно представить в виде .

Найти этот неизвестный многочлен можно делением уголком.

Итак, если нужно решить уравнение выше 2-й степени , то есть если мы найдём любой корень многочлена, то сможем разложить левую часть .

И останется решить уравнение, у которого степень на единицу меньше:

.

Если исходное уравнение было 3-й степени, значит, осталось решить квадратное, то есть проблем нет. Если степень была выше, то можно попробовать повторить процедуру.

Теперь обсудим, как находить эти корни. В общем случае метода нет, иначе можно было бы решить уравнение любой степени, а мы уже говорили, что это не так. Но некоторые корни можно найти достаточно быстро.

Пример. Решить уравнение .

Нам нужен любой корень многочлена. Проверять нужно сначала самые простые варианты.

Очевидно, ноль не подойдёт, так как слева получится 3.

Легко проверить единицу: .

Аналогично не подойдёт и минус единица, проверьте это сами.

Если бы двойка была корнем, то мы бы имели .

Но в этом числовом выражении все слагаемые до тройки делятся на 2, а тройка не делится на 2. При этом сумма равна нулю, то есть делится на 2. Значит, 2 не может быть корнем. По таким же соображениям и –2 не может быть корнем. Получается, что целым корнем может быть только делитель тройки.

Повторим этот вывод в общем виде.

Пусть многочлен с целыми коэффициентами , имеет целый корень .

Тогда мы можем подставить вместо  значение  и получить ноль:

.

Все слагаемые, кроме последнего в левой части, содержат множитель , то есть делятся на , но вся правая часть тоже на него делится, так как равна нулю. Тогда и последнее слагаемое  делится на .

Целым корнем может быть только делитель свободного члена.

Вернёмся к нашему уравнению:

.

Целый корень может быть только среди делителей тройки, то есть среди чисел . Плюс и минус единицу мы уже проверили, это не корни. Остались плюс и минус тройка.

Подставим 3:

Равенство верно, мы нашли корень .

По следствию из теоремы Безу наш многочлен представляется в виде

.

Найти этот многочлен мы можем делением уголком.

Получаем:

.

Полученный многочлен 3-й степени преобразуется группировкой:

.

В итоге уравнение приняло вид:

.

Выражение во вторых скобках обращается в ноль при . Последнее выражение нулю не равно ни при каких действительных значениях . Значит, уравнение имеет только два действительных корня: 3 и .

Корни могут быть не только целыми числами. Рассмотрим способ поиска рациональных корней.

Пусть многочлен с целыми коэффициентами , имеет рациональный корень , где ― несократимая дробь, то есть  и  взаимно просты, ― целое число, ― натуральное число.

Подставим его в многочлен и получим ноль справа:

.

Умножим обе части на  и получим:

.

Все слагаемые, кроме последнего в левой части, содержат множитель , то есть делятся на . Следовательно, последнее слагаемое тоже делится на . Но  и  взаимно просты, следовательно, в делимости последнего слагаемого на  множитель  не участвует, а значит,  делится на .

Ровно такое же рассуждение в другую сторону. Все слагаемые, кроме первого, делятся на , значит, первое тоже делится, а значит,  делится на .

Получается, у рационального корня числитель ― это делитель младшего (свободного) члена, а знаменатель ― делитель старшего. Поскольку делителей и там и там конечное число, то таких комбинаций, то есть составленных из них дробей, тоже конечное число и их все можно проверить. За конечное время можно найти все рациональные корни многочлена с целыми коэффициентами или, что то же самое, решить соответствующее уравнение.

Пример. Решим уравнение .

Если целые корни есть, то это делители 6, то есть . Проверим каждый из них подстановкой и увидим, что они не подходят. Остаётся проверить нецелые рациональные корни.

Числитель ― это делитель свободного коэффициента 6, знаменатель ― делитель старшего коэффициента 3. Получаются ещё четыре кандидата на корень:  (остальные комбинации дадут уже проверенные нами целые числа).

Подставим , получим .

Подставим , получим .

Подставим , получим .

Нашли корень.

Применяем теорему Безу:

.

Чтобы не делить уголком на двучлен с дробью, домножим его на 3, а неизвестный многочлен поделим на 3, получится тоже многочлен 2-й степени:

.

Делим уголком и находим неизвестный многочлен.

У этого многочлена дискриминант отрицательный, он действительных корней не имеет. Следовательно, уравнение имеет единственный действительный корень .

Конечно, может повезти, и многочлен можно будет разложить на множители гораздо более простыми способами.

Пример. Решим уравнение .

Если есть рациональный корень ― то это комбинация двух делителей 1 (последней и первой). То есть у нас два варианта: . Единица не подойдёт, так как значение многочлена будет положительным: , а вот при –1 мы получим набор одинаковых пар чисел с разными знаками, то есть сумма будет равна нулю:

.

Значит, мы нашли корень –1. Можно поделить на , получить многочлен 4-й степени и пытаться с ним дальше сделать то же самое и так дойти до ответа. Но уравнение решится мгновенно, если мы заметим, что у многочлена биномиальные коэффициенты.

Вспомним треугольник Паскаля.

Как только мы это увидели, то сразу понимаем, что у нас расписан следующий бином:

.

Тогда у нас единственный действительный корень . Мы решили уравнение. 

Основная теорема алгебры. Разложение многочлена

Занимаясь алгеброй многочленов, мы уже отметили аналогии с числовыми вычислениями, например деление уголком производится точно так же. Но есть более фундаментальные аналогии.

Мы уже знаем, что если ― корень многочлена , то он представим в виде , то есть речь идёт о разложении многочлена на произведение многочленов меньших степеней. Это напоминает разложение числа на простые множители.

Те числа, которые можно представить в виде произведения меньших, называются составными; которые нельзя ― простыми.

В алгебре многочленов те многочлены, которые нельзя представить в виде произведения многочленов меньших степеней, называются неприводимыми, а которые можно ― приводимыми.

Любой многочлен 1-й степени нельзя представить как произведение двух многочленов меньших степеней, то есть все многочлены 1-й степени неприводимы.

― неприводимый многочлен.

Многочлены 2-й степени бывают приводимыми, например , и неприводимыми, например .

Чтобы ответить на вопрос о приводимости многочленов высших степеней, нам понадобится обратиться к комплексным числам. Мы уже отмечали, что квадратное уравнение всегда имеет решение в комплексных числах. Но то же самое можно сказать про любой многочлен, не только 2-й степени. Данное утверждение легко формулируется, но для его доказательства у нас пока нет инструментов.

Любой многочлен 1-й степени или выше имеет хотя бы один комплексный корень.

Это утверждение называют «основной теоремой алгебры», и здесь очень хорошо становится понятна разница между действительными и комплексными числами как алгебраическими инструментами.

По основной теореме алгебры для многочлена  всегда существует корень . Тогда по теореме Безу он представим в виде .

Основная теорема алгебры верна и для . То есть у него тоже есть корень и он тоже раскладывается. Таким образом многочлен  раскладывается на  многочленов 1-й степени:

.

Или, если сказать иначе, любой многочлен степени  имеет ровно  комплексных корней. Корни могут повторяться, тогда они называются двукратными, трёхкратными и так далее корнями.

Основная теорема алгебры ― сильный инструмент для работы в комплексных числах, но мы привлекли её, чтобы ответить на вопрос о многочленах с действительными коэффициентами и действительными корнями.

Итак, пусть у нас есть многочлен с действительными коэффициентами:

,.

По основной теореме алгебры у него есть ровно n комплексных корней. Какие-то из них могут оказаться действительными. С ними для нас всё ясно, мы получим по теореме Безу соответствующие множители 1-й степени в разложении исходного многочлена.

Пусть теперь там оказался мнимый корень . Тогда подставим вместо  этот корень и получим равенство нулю:

.

Слева стоит сумма комплексных чисел. Вспомним, что действительная и мнимая части комплексных чисел не складываются. То есть если сумма нескольких комплексных чисел равна нулю, то по отдельности равны нулю суммы всех действительных частей и всех мнимых частей.

Теперь вспомним понятие сопряжённого числа. Для  cопряжённым будет . Хороши эти числа тем, что в произведении дают действительное число .

Последнее, на что посмотрим, ― на возведение в степень пары сопряжённых чисел. Сделать это удобнее по формуле Муавра в тригонометрической форме:

,

,

,

.

То есть степени пары сопряжённых чисел ― это новая пара тоже сопряжённых чисел. Если давало ноль в многочлене , то и сопряжённое  тоже даст ноль, ведь во всей этой сумме не поменялись действительные части, а мнимые части поменяли знак на противоположный, следовательно, эти суммы остались равными нулю.

Таким образом, если многочлен с действительными коэффициентами имеет мнимый корень , то cопряжённое ему число  тоже является корнем.

Итак, любой многочлен  имеет  комплексных корней. Если там встречаются мнимые корни, то они обязательно идут сопряжёнными парами:  и . Тогда в разложении многочлена будет вот такая пара:

.

Но выражения в скобках тоже сопряжены и сворачиваются в многочлен 2-й степени с действительными коэффициентами:

.

Понятно, что такой многочлен уже имеет два мнимых корня, то есть не имеет действительных корней, то есть неприводим.

Любой многочлен с действительными коэффициентами раскладывается на произведение неприводимых многочленов следующим образом: множителями будут многочлены 1-й степени  (если есть действительные корни) и 2-й степени ,, которые соответствуют паре сопряжённых мнимых корней. Это означает, что все многочлены выше 2-й степени являются приводимыми. Не бывает такой ситуации, чтобы многочлен, например, 4-й степени не раскладывался. Его обязательно можно представить в виде произведения неприводимых многочленов 1-й или 2-й степеней. Например, .

Рассмотрим ещё один красивый и очевидный вывод: любой многочлен с действительными коэффициентами нечётной степени не может в своём разложении иметь неприводимые только 2-й степени, а значит, там есть хотя бы один 1-й степени. Это означает, что любое уравнение нечётной степени с действительными коэффициентами имеет хотя бы один действительный корень.

Список литературы

1. Алгебра и начала математического анализа: базовый и углублённый уровни: учеб. для 10 кл. / А. Г. Мордкович, П. В. Семёнов. ― М.: Мнемозина, 2021.

2. Алгебра и начала математического анализа: базовый и профильный уровни: учеб. для 10 кл. / С. М. Никольский, М. К. Потапов, Н. Н. Решетников и др. ― М.: Просвещение, 2021.

Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

1. Интернет-портал «spacemath.xyz» (Источник)

Домашнее задание

1. Используя треугольник Паскаля, раскройте скобки в выражении .

2. Решите уравнения:

а) ;

б) ;

в) .

3. Разложите на множители многочлен .