01. Определение функции, обратная функция

На этом уроке мы рассмотрим важнейшие понятия в математике – функция и обратная функция. Мы вспомним, как построить график функции. Кроме того, рассмотрим метод нахождения функции, обратной данной, и решим примеры на нахождение обратной функции и построение её графика.

Пусть  и  – это два множества.

Функция  – это соответствие, которое каждому элементу из множества  сопоставляет единственный элемент из множества .

Природа элементов множества  и  может быть любая, например числа.

Если даны числовое множество  и правило  позволяющее поставить в соответствие каждому элементу  из множества  определённое число  то говорят, что задана функция с областью определения 

Областью определения функции  называют множество всех значений для которых функция имеет смысл.

Множество всех значений функции ,  называют областью значений функции. 

,  

 – независимая переменная (аргумент)

 – зависимая переменная

 – область определения функции

 – область значения функции

Графиком функции называется множество всех точек (на координатной плоскости) вида , где .

Примеры

1. ; .

Графиком этой функции является часть гиперболы (см. рис. 1). Область определения – это проекция графика на ось область значения – это проекция графика на ось

Область определения: .

Область значения: .

Любая вертикальная прямая  (если  принадлежит области определения) пересекает график в единственной точке, так как, согласно определению функции, закон  такой, что каждому значению аргумента соответствует только одно значение функции.

1.  (см. рис. 2).

Область определения: .

Область значения: .

1. ;  (см. рис. 3).

Область определения: .

Область значения: .

1. ;  (см. рис. 4).

Область определения: .

Область значения: .

В монотонной функции каждое значение  достигается только при одном значении  (на рисунке 5 показан пример графика монотонно возрастающей функции). То есть уравнение , где , имеет только одно решение ( достигается при единственном значении ).

Пусть  – это монотонная функция. Следовательно, каждому  из области значения сопоставляется единственное значение  из области определения. Тем самым задаётся функция, которая называется обратной, и обозначается . В этом случае независимой переменной является а зависимой –

Обратная функция устанавливает взаимно однозначное соответствие между множеством значений и областью определения прямой функции.

У каждой монотонной функции есть обратная функция. Однако многие функции кусочно-монотонные, обратные функции у них будут существовать только в тех интервалах, где они монотонны.

Например:

1. Функция  (см. рис. 2) немонотонная,  достигается при  и при , следовательно, на всей области определения для этой функции не существует обратной.

2. Функция ;  (см. рис. 3) монотонная (возрастающая), например,  достигается только при , следовательно, для неё существует обратная функция.

3. Функция ;  (см. рис. 4) монотонная (убывающая), например,  достигается только при , следовательно, для неё существует обратная функция.

Графиком обратной функции называется множество всех точек (на координатной плоскости) вида , где .

Графики прямой и обратной функции симметричны относительно прямой  (см. рис. 6).

Прямая и обратная функции имеют одинаковый характер монотонности: если прямая функция возрастает, то и обратная функция возрастает; если прямая функция убывает, то и обратная функция убывает.

Дано: монотонная функция  и её график.

Найти: обратную функцию  и её график.

Решение

1. Решим относительно  уравнение , где :

Мы получили обратную функцию в осях . Для удобства изменим название переменных, получим:

 – в осях

2. График обратной функции получим симметрией относительно  графика прямой функции.

Список литературы

1. Мордкович А. Г., Семенов П. В. Алгебра и начала математического анализа, 10 класс. В 2 ч. Ч. 1. Учебник для учащихся общеобразовательных учреждений. – М.: Мнемозина, 2009.

2. Мордкович А. Г. Алгебра и начала математического анализа, 10 класс. В 2 ч. Ч. 2. Задачник для учащихся общеобразовательных учреждений. – М.: Мнемозина, 2009.

3. Виленкин Н. Я., Ивашев-Мусатов О. С., Шварцбурд С. И. Алгебра и математический анализ для 10 класса (учебное пособие для учащихся школ и классов с углублённым изучением математики). – М.: Просвещение, 1996.

4. Колягин Ю. М., Сидоров Ю. В., Ткачева М. В., Федорова М. В., Шабунин М. И. Алгебра и начала математического анализа, 10 класс. Учебник для учащихся общеобразовательных учреждений (профильный уровень). – М.: Мнемозина, 2009.

Полезные ссылки

1. Интернет-сайт «ege-study.ru»‎.

2. Интернет-сайт «helpmatan.ru»‎.

3. Интернет-сайт «mathematics.ru»‎.

Проверь себя

1. Задание 7.21 (а, в), 7.44 (а), 10.4, 10.13 (а, в) (стр. 41-64) – Мордкович А. Г. Алгебра и начала математического анализа, 10 класс. В 2 ч. Ч. 2. Задачник.

2. Дана функция ; . Найти обратную функцию и её график.

3. Пусть область значений функции  есть отрезок . Найдите множество значений функции .