01. Числовые последовательности и их свойства. Предел числовой последовательности
17 мин
02. Предел числовой последовательности. Сумма бесконечной геометрической прогрессии
30 мин
03. Предел функции
19 мин
04. Определение производной, её физический и геометрический смысл. Алгоритм нахождения производной
22 мин
05. Примеры вычисления основных производных. Типовые задачи
19 мин
06. Таблица производных. Типовые задачи
28 мин
07. Правило дифференцирования. Типовые задачи
39 мин
08. Дифференцирование функции y = f(kx + m)
17 мин
09. Уравнение касательной к графику функции
21 мин
10. Применение производной для исследования функций на монотонность и экстремумы
25 мин
11. Применение производной для нахождения наибольшего и наименьшего значений непрерывной функции на промежутке
26 мин
12. Исследование функции y = 3x⁵ − 5x³ + 2 с помощью производной
16 мин
13. Исследование функции y = 3x⁵ − 5x³ + 2 без производной
19 мин
14. Исследование функции, её график, сопутствующие задачи на примере функции f(x) = 3x⁵ − 5x³ + 2. Задача с параметром
13 мин
15. Методика исследования функций на примере f(x) = x√(2-x)
11 мин
16. Построение графика функции f(x) = x³ − 3x + 4 с помощью производной, сопутствующие задачи
24 мин
17. Исследование функции y = (x³ − 4) : (x − 1)³ и сопутствующие задачи
23 мин
18. Дифференцирование сложных функций. Задача из практики подготовки к ЕГЭ по математике
35 мин
19. Планиметрические задачи на экстремум
28 мин
20. Производная в задачах на прямоугольный параллелепипед
23 мин
21. Приближённые вычисления
16 мин
22. Задачи на расстояние от точки до кривой
22 мин
23. Типовые задачи на производную с иррациональными функциями
24 мин
24. Типовые задачи на производную с тригонометрическими функциями. Функция f(x) = cos²x − cos x
16 мин
25. Типовые задачи на касательную
16 мин
04. Определение производной, её физический и геометрический смысл. Алгоритм нахождения производной
Видео доступно по абонементу
Введение новых понятий
.
Рассмотрим функцию, ее график и дадим физическую интерпретацию.
Построим систему координат и кривую (см. рис.1), где
независимая переменная или аргумент (время),
– зависимая переменная или функция (расстояние),
– закон или правило, по которому каждому значению ставится в соответствие только одно значение.
Зафиксируем момент времени (см. рис.2). В этот момент времени можно вычислить по заданному закону , т.е. имеем точку. Эта точка показывает, что в данный момент времени , расстояние - . Дадим аргументу приращение, т.е. прошло некоторое время. Момент времени, который будет рассматриваться - это .
.
– приращение аргумента – это разность между новым значением аргумента и старым.
Итак, в новый момент времени, расстояние (от дома) -. Это расстояние можно вычислить по заданному закону, т.е. если подставить в функцию новое значение независимой переменной (аргумента), то можно вычислить новое значение функции. Так получилась точка. В результате получилась секущая, которая наклонена к оси под углом.
– секущая, – ее угол наклона. Этот угол, во – первых, в верхней полуплоскости и, во – вторых, с положительным направлением оси.
Рассмотрим треугольник (см. рис.3). Он прямоугольный. В этом треугольнике острый угол – это угол- угол наклона секущей. Один из катетов - это приращение аргумента, а второй катет – это разность между значением функции в новой точке и значением функции в старой точке.
Величина называется – приращение функции и вычисляется как разность значений функции в новый момент времени минус значение функции в старый момент времени
.
Физический смысл отношения ∆f/∆x
Рассмотрим отношение , где – приращение функции, – приращение аргумента (см. рис.4).
Из физических соображений ясно, что отношение расстояния ко времени – это средняя скорость. В этом заключается физический смысл отношения .
.
С другой стороны отношение катета к катету – это тангенс угла – тангенс угла наклона секущей, т.е. геометрический смысл отношения – это тангенс угла наклона секущей.
Определение производной
Пусть. Понятно, что и . Точка будет стремиться к точке, а положение секущей будет стремиться занять положение касательной в точке к кривой (см. рис.4). Имеем
Зафиксируем эту касательную, – угол наклона этой касательной. Если зафиксировать точку, то отношение зависит только от величины.
Если отношение при стремится к какому-то числу, то это число называется производной функции в точке и обозначается.
Определение. Производной функции в точке называется число, к которому стремится разностное соотношение при.
Определение производной с помощью пределов.
Предел при разностного отношения , если он существует, называется производной функции в точке и обозначается.
Геометрический и физический смысл производной
, где – мгновенная скорость в момент. В этом заключается физический смысл производной. Производная – это также тангенс угла наклона касательной, где - угол наклона касательной к кривой в точке с абсциссой.
Алгоритм нахождения производной
Для того чтобы найти нужно:
1) Задать приращение – это приращение аргумента и вычислить соответствующее приращение функции или.
2) Найти разностное соотношение , упростить его и сократить на .
3) Если отношение при стремится к какому-то числу, то это число будет.
Итог урока
Итак, на уроке было рассмотрено понятие производной. Для этого ввели два новых понятия: приращение аргумента и приращение функции. Также были рассмотрены события, когда приращение аргумента и приращение функции конкретные числа, тогда соотношение имеет смысл физический – это средняя скорость за время и геометрический смысл – это тангенс угла наклона секущей. Далее было рассмотрено, какие процессы происходят, когда. Если, тогда и , и секущая стремится занять положение касательной. Если разностное отношение при стремится к некоторому числу, то это число называется производной функции в точке. Физический смысл производной в момент – это мгновенная скорость в момент, а геометрический – это тангенс угла наклона касательной, которая проведена к кривой в точке с абсциссой. Рассмотрен алгоритм нахождения производной: нужно дать приращение аргументу и получить новую точку. Получили значение функции в новой точке и нашли приращение функции. Надо разделить на и упростить это отношение так, чтобы сократился, и то, что получится при стремлениик нулю будет называться производной функции в конкретной точке. Дальнейшее изложение зависит от вида функции, что и будет рассматриваться на следующем уроке.
Список рекомендованной литературы
Алгебра и начала анализа, 10 класс (в двух частях). Учебник для общеобразовательных учреждений (профильный уровень) под ред. А. Г. Мордковича. –М.: Мнемозина, 2009.
Алгебра и начала анализа, 10 класс (в двух частях). Задачник для общеобразовательных учреждений (профильный уровень) под ред. А. Г. Мордковича. –М.: Мнемозина, 2007.
Виленкин Н.Я., Ивашев-Мусатов О.С., Шварцбурд С.И. Алгебра и математический анализ для 10 класса (учебное пособие для учащихся школ и классов с углубленным изучением математики).-М.: Просвещение, 1996.
Галицкий М.Л., Мошкович М.М., Шварцбурд С.И. Углубленное изучение алгебры и математического анализа.-М.: Просвещение, 1997.
Сборник задач по математике для поступающих во ВТУЗы (под ред. М.И.Сканави).-М.:Высшая школа, 1992.
Мерзляк А.Г., Полонский В.Б., Якир М.С. Алгебраический тренажер.-К.: А.С.К., 1997.
ЗвавичЛ.И., Шляпочник Л.Я., Чинкина Алгебра и начала анализа. 8-11 кл.: Пособие для школ и классов с углубленным изучением математики (дидактические материалы).-М.: Дрофа, 2002.
Саакян С.М., Гольдман А.М., Денисов Д.В. Задачи по алгебре и началам анализа (пособие для учащихся 10-11 классов общеобразов. учреждений).-М.: Просвещение, 2003.
Карп А.П. Сборник задач по алгебре и началам анализа : учеб. пособие для 10-11 кл. с углубл. изуч. математики.-М.: Просвещение, 2006.
Глейзер Г.И. История математики в школе. 9-10 классы (пособие для учителей).-М.: Просвещение, 1983.
Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет
Интернет-портал «mathematics.ru» (Источник).
Сделай дома
№ 39.40 (Алгебра и начала анализа, 10 класс (в двух частях). Задачник для общеобразовательных учреждений (профильный уровень) под ред. А. Г. Мордковича. –М.: Мнемозина, 2007.)
"