01. Числовые последовательности и их свойства. Предел числовой последовательности
02. Предел числовой последовательности. Сумма бесконечной геометрической прогрессии
03. Предел функции
04. Определение производной, её физический и геометрический смысл. Алгоритм нахождения производной
05. Примеры вычисления основных производных. Типовые задачи
06. Таблица производных. Типовые задачи
07. Правило дифференцирования. Типовые задачи
08. Дифференцирование функции y = f(kx + m)
09. Уравнение касательной к графику функции
10. Применение производной для исследования функций на монотонность и экстремумы
11. Применение производной для нахождения наибольшего и наименьшего значений непрерывной функции на промежутке
12. Исследование функции y = 3x⁵ − 5x³ + 2 с помощью производной
13. Исследование функции y = 3x⁵ − 5x³ + 2 без производной
14. Исследование функции, её график, сопутствующие задачи на примере функции f(x) = 3x⁵ − 5x³ + 2. Задача с параметром
15. Методика исследования функций на примере f(x) = x√(2-x)
16. Построение графика функции f(x) = x³ − 3x + 4 с помощью производной, сопутствующие задачи
17. Исследование функции y = (x³ − 4) : (x − 1)³ и сопутствующие задачи
18. Дифференцирование сложных функций. Задача из практики подготовки к ЕГЭ по математике
19. Планиметрические задачи на экстремум
20. Производная в задачах на прямоугольный параллелепипед
21. Приближённые вычисления
22. Задачи на расстояние от точки до кривой
23. Типовые задачи на производную с иррациональными функциями
24. Типовые задачи на производную с тригонометрическими функциями. Функция f(x) = cos²x − cos x
25. Типовые задачи на касательную
04. Определение производной, её физический и геометрический смысл. Алгоритм нахождения производной
Видео доступно по абонементу
Введение новых понятий
.
Рассмотрим функцию, ее график и дадим физическую интерпретацию.
Построим систему координат и кривую (см. рис.1), где
независимая переменная или аргумент (время),
– зависимая переменная или функция (расстояние),
– закон или правило, по которому каждому значению ставится в соответствие только одно значение.
Зафиксируем момент времени (см. рис.2). В этот момент времени можно вычислить по заданному закону , т.е. имеем точку. Эта точка показывает, что в данный момент времени , расстояние - . Дадим аргументу приращение, т.е. прошло некоторое время. Момент времени, который будет рассматриваться - это .
.
– приращение аргумента – это разность между новым значением аргумента и старым.
Итак, в новый момент времени, расстояние (от дома) -. Это расстояние можно вычислить по заданному закону, т.е. если подставить в функцию новое значение независимой переменной (аргумента), то можно вычислить новое значение функции. Так получилась точка. В результате получилась секущая, которая наклонена к оси под углом.
– секущая, – ее угол наклона. Этот угол, во – первых, в верхней полуплоскости и, во – вторых, с положительным направлением оси.
Рассмотрим треугольник (см. рис.3). Он прямоугольный. В этом треугольнике острый угол – это угол- угол наклона секущей. Один из катетов - это приращение аргумента, а второй катет – это разность между значением функции в новой точке и значением функции в старой точке.
Величина называется – приращение функции и вычисляется как разность значений функции в новый момент времени минус значение функции в старый момент времени
.
Физический смысл отношения ∆f/∆x
Рассмотрим отношение , где – приращение функции, – приращение аргумента (см. рис.4).
Из физических соображений ясно, что отношение расстояния ко времени – это средняя скорость. В этом заключается физический смысл отношения .
.
С другой стороны отношение катета к катету – это тангенс угла – тангенс угла наклона секущей, т.е. геометрический смысл отношения – это тангенс угла наклона секущей.
Определение производной
Пусть. Понятно, что и . Точка будет стремиться к точке, а положение секущей будет стремиться занять положение касательной в точке к кривой (см. рис.4). Имеем
Зафиксируем эту касательную, – угол наклона этой касательной. Если зафиксировать точку, то отношение зависит только от величины.
Если отношение при стремится к какому-то числу, то это число называется производной функции в точке и обозначается.
Определение. Производной функции в точке называется число, к которому стремится разностное соотношение при.
Определение производной с помощью пределов.
Предел при разностного отношения , если он существует, называется производной функции в точке и обозначается.
Геометрический и физический смысл производной
, где – мгновенная скорость в момент. В этом заключается физический смысл производной. Производная – это также тангенс угла наклона касательной, где - угол наклона касательной к кривой в точке с абсциссой.
Алгоритм нахождения производной
Для того чтобы найти нужно:
1) Задать приращение – это приращение аргумента и вычислить соответствующее приращение функции или.
2) Найти разностное соотношение , упростить его и сократить на .
3) Если отношение при стремится к какому-то числу, то это число будет.
Итог урока
Итак, на уроке было рассмотрено понятие производной. Для этого ввели два новых понятия: приращение аргумента и приращение функции. Также были рассмотрены события, когда приращение аргумента и приращение функции конкретные числа, тогда соотношение имеет смысл физический – это средняя скорость за время и геометрический смысл – это тангенс угла наклона секущей. Далее было рассмотрено, какие процессы происходят, когда. Если, тогда и , и секущая стремится занять положение касательной. Если разностное отношение при стремится к некоторому числу, то это число называется производной функции в точке. Физический смысл производной в момент – это мгновенная скорость в момент, а геометрический – это тангенс угла наклона касательной, которая проведена к кривой в точке с абсциссой. Рассмотрен алгоритм нахождения производной: нужно дать приращение аргументу и получить новую точку. Получили значение функции в новой точке и нашли приращение функции. Надо разделить на и упростить это отношение так, чтобы сократился, и то, что получится при стремлениик нулю будет называться производной функции в конкретной точке. Дальнейшее изложение зависит от вида функции, что и будет рассматриваться на следующем уроке.
Список рекомендованной литературы
Алгебра и начала анализа, 10 класс (в двух частях). Учебник для общеобразовательных учреждений (профильный уровень) под ред. А. Г. Мордковича. –М.: Мнемозина, 2009.
Алгебра и начала анализа, 10 класс (в двух частях). Задачник для общеобразовательных учреждений (профильный уровень) под ред. А. Г. Мордковича. –М.: Мнемозина, 2007.
Виленкин Н.Я., Ивашев-Мусатов О.С., Шварцбурд С.И. Алгебра и математический анализ для 10 класса (учебное пособие для учащихся школ и классов с углубленным изучением математики).-М.: Просвещение, 1996.
Галицкий М.Л., Мошкович М.М., Шварцбурд С.И. Углубленное изучение алгебры и математического анализа.-М.: Просвещение, 1997.
Сборник задач по математике для поступающих во ВТУЗы (под ред. М.И.Сканави).-М.:Высшая школа, 1992.
Мерзляк А.Г., Полонский В.Б., Якир М.С. Алгебраический тренажер.-К.: А.С.К., 1997.
ЗвавичЛ.И., Шляпочник Л.Я., Чинкина Алгебра и начала анализа. 8-11 кл.: Пособие для школ и классов с углубленным изучением математики (дидактические материалы).-М.: Дрофа, 2002.
Саакян С.М., Гольдман А.М., Денисов Д.В. Задачи по алгебре и началам анализа (пособие для учащихся 10-11 классов общеобразов. учреждений).-М.: Просвещение, 2003.
Карп А.П. Сборник задач по алгебре и началам анализа : учеб. пособие для 10-11 кл. с углубл. изуч. математики.-М.: Просвещение, 2006.
Глейзер Г.И. История математики в школе. 9-10 классы (пособие для учителей).-М.: Просвещение, 1983.
Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет
Интернет-портал «mathematics.ru» (Источник).
Сделай дома
№ 39.40 (Алгебра и начала анализа, 10 класс (в двух частях). Задачник для общеобразовательных учреждений (профильный уровень) под ред. А. Г. Мордковича. –М.: Мнемозина, 2007.)
"