01. Первые представления о решении тригонометрических уравнений

Тема урока, введение

Мы рассмотрим и решим простейшие тригонометрические уравнения вида , , , .

Решение уравнения вида sinx=a

Пример 1. Решить уравнение .

Решение:

Решить уравнение – это найти множество всех значений , при каждом из которых . Это уравнение имеет решение, т.к. число  входит в множество значений синуса. На линии синусов отметим , проведем перпендикуляр до пересечения с окружностью и получим точки и  (рис. 1). Только эти две точки имеют ординату .

Полученным точкам соответствуют множества действительных чисел и .

 , , .

Проиллюстрируем решение того же уравнения на графике.

Для того, чтобы решить уравнение , необходимо построить графики функций и  и найти абсциссы точек их пересечения (рис. 2).

, , .

Ответ: ; , .

Решение уравнения вида cosx=a

Пример 2. Решить уравнение .

Решение:

Число , значит, уравнение имеет решения.

Требуется найти множество всех , при каждом из которых .

Отметим на линии косинусов точку , проведем перпендикуляр до пересечения с окружностью и получим две точки – и  (рис. 3).

Полученным точкам соответствуют множества действительных чисел и .

 , , .

Ответ: , .

Проиллюстрируем решение на графике функции (рис. 4).

, .

Ответ: , .

Решение уравнения вида tgx=a

Пример 3. Решить уравнение .

Решение:

На линии тангенсов отложим . Соединим эту точку с центром числовой окружности и получим две точки пересечения с окружностью – и  (рис. 5).

Точке соответствует множество чисел , . Точке  соответствует множество чисел , . Эти два  множества чисел можно записать в виде , . 

Проиллюстрируем решение на графике (рис. 6).

Ответ: , .

Решение уравнения вида ctgx=a

Пример 4. Решить уравнение .

Решение:

Отметим на линии котангенсов точку . Соединим её с началом координат и получим на окружности две точки – и  (рис. 7).

, .

Возможна и другая запись: , .

Проиллюстрируем решение на графике (рис. 8).

Ответ: , .

Решение простейших тригонометрических уравнений

Рассмотрим часто встречающиеся простейшие уравнения:

a) ; ; . Рис. 9.

, , (т. и ).

, , (т.).

, , (т.).

b) ; ; .

, , (т. и ).

, , (т.).

, , (т.).

Вывод, заключение

Мы решили простейшие тригонометрические уравнения с табличными значениями в правой части. В дальнейшем мы будем решать уравнения, в которых правая часть принимает не только табличные значения.

Список литературы

1. Алгебра и начала анализа, 10 класс (в двух частях). Учебник для общеобразовательных учреждений (профильный уровень) под ред. А. Г. Мордковича. –М.: Мнемозина, 2009.

2. Алгебра и начала анализа, 10 класс (в двух частях). Задачник  для общеобразовательных учреждений (профильный уровень) под ред. А. Г. Мордковича. –М.: Мнемозина, 2007.

3. Виленкин Н.Я., Ивашев-Мусатов О.С., Шварцбурд С.И. Алгебра и математический анализ для 10 класса (учебное пособие для учащихся школ и классов с углубленным изучением математики).-М.: Просвещение, 1996.

4. Галицкий М.Л., Мошкович М.М., Шварцбурд С.И. Углубленное изучение алгебры и математического анализа.-М.: Просвещение, 1997.

5. Сборник задач по математике для поступающих во ВТУЗы (под ред. М.И.Сканави).-М.:Высшая школа, 1992.

6. Мерзляк А.Г., Полонский В.Б., Якир М.С. Алгебраический тренажер.-К.: А.С.К., 1997.

7. Саакян С.М., Гольдман А.М., Денисов Д.В. Задачи по алгебре и началам анализа (пособие для учащихся 10-11 классов общеобразов. учреждений).-М.: Просвещение, 2003.

8. Карп А.П. Сборник задач по алгебре и началам анализа : учеб. пособие для 10-11 кл. с углубл. изуч. математики.-М.: Просвещение, 2006.

Домашнее задание

Алгебра и начала анализа, 10 класс (в двух частях). Задачник  для общеобразовательных учреждений (профильный уровень) под ред. А. Г. Мордковича. –М.: Мнемозина, 2007.

№№ 22.1, 22.8, 22.17, 22.19.

Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

1. Интернет-портал «problems.ru» (Источник).

2. Образовательный портал для подготовки к экзаменам (Источник).