19. Планиметрические задачи на экстремум

Задача 1

Пример

Задан прямоугольник с периметром 56 см. Каковы должны быть его стороны, чтобы площадь была наибольшей?

Решение

Обозначим одну из сторон за, тогда вторая сторона:

Площадь такого прямоугольника составит:

Требуется найти максимум функции.

Это квадратичная функция, ее график – парабола, ветви которой направлены вниз, см. рис. 1.

Множество значений данной функции есть отрицательно направленный луч. Очевидно, что максимума он достигает в своей вершине:

Можно также использовать для решения дифференцирование. Найдем производную:

Определим критические точки:

Так,– точка экстремума, слева от нее производная положительна, а справа –отрицательна, см. рис. 2.

Очевидно, что– точка максимума. В таком случае площадь прямоугольника максимальна, когда его стороны равны 14 см, то есть когда он является квадратом.

Ответ: площадь максимальна, когда стороны прямоугольника равны 14 см.

Алгоритм нахождения максимального значения площади с заданными параметрами

1. Выразить площадь через функцию.

2. Вывести зависимость между переменными и получить функцию от одной переменной.

3. Найти производную этой функции.

4. С помощью производной найти точку экстремума функции на заданном промежутке.

Задача 2

Пример

Площадь прямоугольника составляет. Каковы должны быть размеры этого прямоугольника, чтобы периметр был минимальным?

Решение

Пусть стороны прямоугольника,. Тогда:

Периметр такого прямоугольника составит:

Требуется найти минимум данной функции. Найдем производную:

Найдем точки экстремума:

Очевидно, что, поэтому нас интересует только точка. Слева от нее производная отрицательна, а справа положительна, см. рис. 3.

Так,точка минимума.

Ответ: чтобы периметр прямоугольника был минимальным, его стороны должны составить 4 см.

Алгоритм решения задачи аналогичен предыдущему случаю.

Задача

Задача

В окружность радиусавписана трапеция, основание которой является диаметром окружности (см. рис. 4). Найти наибольшую площадь трапеции.

Решение

Здесь около трапеции описана окружность, а значит, трапеция равнобедренная. Это следует, например, из наличия оси симметрии, которая проходит через середины оснований.

Чтобы полностью задать трапецию, необходимо выразить еще хотя бы один ее элемент – большее основание трапеции по условию равно.

Пусть основания трапеции,(см. рис. 5). Тогда ее площадь:

Средняя линия трапеции, согласно свойствам, равна отрезку. Уголпрямой, т. к. опирается на диаметр окружности. Выразим необходимые элементы через радиус окружности и угол:

Тогда искомая площадь:

Итак, требуется найти наибольшее значение функциина отрезке.

Найдем производную:

Найдем точки экстремума. Поскольку перед скобкой стоит постоянный ненулевой множитель, его можно не учитывать:

Отрицательное значение косинуса нам не подходит, т. к. угол– острый угол трапеции.

Так, точки экстремума:;.

Вычислим значение функции в критических точках и на концах отрезка:

Ответ:.

Комментарий: решение задачи станет проще, если выбрать переменной функции площади центральный угол(см. рис. 6).

Тогда имеем:;;, .

Тогда искомая площадь:

Найдем производную, не учитывая постоянный численный множитель:

Найдем точки экстремума:

Второе решение не подходит, т. к. уголострый.

Далее аналогично первому случаю нужно сравнить значения функции на концах отрезка и в точке экстремума.

Ответ вторым способом получаем такой же ответ, как и в первом случае.

Вывод

Итак, мы рассмотрели применение производной для решения планиметрических задач, связанных с площадью и периметром.

Список литературы

1. Алгебра и начала анализа, 10 класс (в двух частях). Учебник для общеобразовательных учреждений (профильный уровень) под ред. А.Г. Мордковича. – М.: Мнемозина, 2009.

2. Алгебра и начала анализа, 10 класс (в двух частях). Задачник  для общеобразовательных учреждений (профильный уровень) под ред. А.Г. Мордковича. – М.: Мнемозина, 2007.

3. Виленкин Н.Я., Ивашев-Мусатов О.С., Шварцбурд С.И. Алгебра и математический анализ для 10 класса (учебное пособие для учащихся школ и классов с углубленным изучением математики). – М.: Просвещение, 1996.

4. Галицкий М.Л., Мошкович М.М., Шварцбурд С.И. Углубленное изучение алгебры и математического анализа. – М.: Просвещение, 1997.

5. Сборник задач по математике для поступающих во ВТУЗы (под ред. М.И. Сканави). – М.: Высшая школа, 1992.

6. Мерзляк А.Г., Полонский В.Б., Якир М.С. Алгебраический тренажер. – К.: А.С.К., 1997.

7. Звавич Л.И., Шляпочник Л.Я., Чинкина Алгебра и начала анализа. 8-11 кл.: Пособие для школ и классов с углубленным изучением математики (дидактические материалы). – М.: Дрофа, 2002.

8. Саакян С.М., Гольдман А.М., Денисов Д.В. Задачи по алгебре и началам анализа (пособие для учащихся 10-11 классов общеобразов. учреждений). – М.: Просвещение, 2003.

9. Карп А.П. Сборник задач по алгебре и началам анализа : учеб. пособие для 10-11 кл. с углубл. изуч. математики. – М.: Просвещение, 2006.

10. Глейзер Г.И. История математики в школе. 9-10 классы (пособие для учителей). – М.: Просвещение, 1983.

Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

1. Интернет-портал «webmath.ru» (Источник).

2. Интернет-портал «webmath.ru» (Источник).

Домашнее задание

1. Фермеру нужно огородить прямоугольный участок земли максимальной площади. Каковы должны быть размеры участка, если он купил 120 метров проволоки?

2. Найти максимальную площадь равнобедренного треугольника периметром 20 см.

3. Найти максимальный периметр прямоугольного треугольника площадью 50