16. Построение графика функции f(x) = x³ − 3x + 4 с помощью производной, сопутствующие задачи

Введение

Методика исследования функции, построение ее графика, включает в себя 2 этапа:

1. исследование без производной;

2. исследование с помощью производной.

Построение графика и исследование функции без производной

При исследовании функции

 без производной нахождение интервалов знакопостоянства и определение знаков функции на них выполнить очень затруднительно. Однако некоторые свойства данной функции можно узнать:

1. Область определения функции – это множество всех действительных чисел.

2. Если x стремится к , то и данная функция стремится к . Следовательно, множество значений функции – это вся числовая ось.

3. График этой функции симметричен относительно точки.

Пояснение

Рассмотрим функцию

Эта функция позволяет найти интервалы знакопостоянства и построить эскиз графика (см. Рис. 1).

Эта функция нечетная:

График нечетной функции симметричен относительно точки с координатами .

При прибавлении к функции  график сдвинется на 4 единицы вверх по оси  (см. Рис. 2): корни  и  пропадают, а корень  сдвигается влево. Следовательно, график функции   будет симметричен относительно точки .

Нам удалось установить, что функция  имеет как минимум один корень, который меньше чем .

Построение графика и исследование функции с помощью производной

Приравниваем производную к и находим критические точки:

  – критические точки

Выделим интервалы знакопостоянства производной, которые определяют интервалы монотонности самой функции (см. Рис. 3).

До точки  функция возрастала (производная была положительна), после этой точки функция убывает (производная отрицательная), следовательно,  – это точка максимума.

До точки  функция убывала, после этой точки функция возрастает, следовательно,  – это точка минимума.

Найдем значения функции в точках минимума и максимума:

Можно сделать вывод, что функция возрастает от  до и от до ; функция убывает от до .

На рисунке 4 показан график функции. Этот график читается следующим образом:

Если аргумент возрастает от   до , то функция возрастает от    до ; если аргумент от до , то функция убывает от до ; если аргумент возрастает от до , то функция возрастает от до .

Результаты исследования функции

1.  при и при 

2.  при

3.

3.. Наибольшего и наименьшего значения функции не существует.

Задача

Найти число корней уравнения  в зависимости от параметра .

Решение

1. Перенесем в правую часть уравнения:

2. Построим график функции  (см. Рис. 5) (как построить график этой функции см. выше).

3. Рассечем этот график семейством прямых , при разных. Найдем точки пересечения этих прямых с графиком функции

 (см. Рис. 6).

Уравнение  имеет один корень при каждом  из множества , а также из множества .

Уравнение   имеет два корня при  и при .

Уравнение   имеет три корня при всех  из множества .

Ответ: 1 корень:

2 корня:

3 корня: .

Частные случаи для задачи

1. Найти все значения параметра , при каждом из которых данное уравнение имеет ровно два различных корня.

Ответ: уравнение   имеет два корня при  и при .

2. Найти наибольшее натуральное значение параметра , при котором уравнение имеет три различных корня.

Решение

Уравнение   имеет три корня при всех  из множества . В это множество входят такие натуральные числа: . Наибольшее из них – это.

Ответ: .

Общий план построения графика и исследования функции  

Общий план состоит из двух этапов:

1. Этап А: исследование без производной.

2. Этап Б: исследование с производной.

Этап А

1. Найти область определения функции .

2. Выделить интервалы знакопостоянства функции и определить знаки функции на них (для этого нужно приблизительно оценить расположение корней или точно найти их).

3. Найти точку пересечения графика с осью , для этого приравнять  и вычислить .

4. Выяснить специфику функции:

- четность, нечетность, периодичность;

- наличие центра или оси симметрии.

5. Построить эскиз графика в окрестностях каждого корня (в окрестностях корня функция может возрастать, убывать, иметь точку максимума или минимума (см. Рис. 7)).

6. Построить эскиз графика функции в окрестностях точек разрыва области определения . Точки разрыва – это, как правило, корни знаменателя. Они могут определять вертикальные асимптоты.

7. Построить график функции в окрестностях бесконечно удаленных точек: .

Этап Б

1. Найти производную функции .

2. Найти интервалы знакопостоянства производной и определить знаки производной на них. Эти интервалы определяют интервалы монотонности самой функции.

3. Найти критические точки, исследовать их на экстремум.

4. Построить и описать график функции .

Предложенная схема работает особенно хорошо для функций вида: , где  и  – многочлены.

Список литературы

1. Мордкович А.Г., Семенов П. В. Алгебра и начала математического анализа, 10 класс. В 2 ч. Ч. 1. Учебник для учащихся общеобразовательных учреждений. – М.: Мнемозина, 2009.

2. Мордкович А.Г. Алгебра и начала математического анализа, 10 класс. В 2 ч. Ч. 2. Задачник для учащихся общеобразовательных учреждений. – М.: Мнемозина, 2009.

3. Виленкин Н.Я., Ивашев-Мусатов О.С., Шварцбурд С.И. Алгебра и математический анализ для 10 класса (учебное пособие для учащихся школ и классов с углубленным изучением математики). – М.: Просвещение, 1996.

4. Колягин Ю.М., Сидоров Ю.В., Ткачева М.В., Федорова М.В., Шабунин М.И. Алгебра и начала математического анализа, 10 класс. Учебник для учащихся общеобразовательных учреждений (профильный уровень). – М.: Мнемозина, 2009.

Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

1. Интернет-портал YouTube.

Домашнее задание

1. Задание 45.13, 45.15(а), 45.3 (б) (стр. 265) – Мордкович А.Г. Алгебра и начала математического анализа, 10 класс. В 2 ч. Ч. 2. Задачник.

2. Исследуйте функцию и постройте ее график .