05. Практика. Тригонометрические уравнения и неравенства. Профильный уровень

Простейшие тригонометрические уравнения

Люди создают инструменты, чтобы выполнять определённые задачи. Молоток придумали, чтобы забивать гвозди, отвёртку — чтобы закручивать шурупы. Нужно знать предназначение инструмента, чтобы правильно его применять. Конечно, можно попробовать использовать инструмент и не по назначению: забить отвёрткой гвоздь, к примеру. Но результат вряд ли вас устроит.

В математике также есть свои инструменты, созданные для решения конкретных задач. С одним из таких инструментов вы недавно познакомились — это обратные тригонометрические функции. Они применяются для решения простейших тригонометрических уравнений. Сегодня мы посмотрим, в каких ситуациях и как правильно применять этот инструмент.

Кроме того, само по себе применение инструмента обычно не несёт пользу. Но для решения более сложных, комплексных задач умение правильно обращаться с инструментом просто необходимо! Так, можно забить гвоздь или вкрутить болт — от одного такого действия пользы немного. Но, комбинируя и правильно применяя эти действия, можно собрать, к примеру, шкаф или стол. Так же и с инструментами в математике: само по себе умение решать простейшие тригонометрические уравнения редко применяется на практике. Но это умение необходимо для расчёта более сложных математических моделей, содержащих тригонометрические функции. Поэтому основную часть урока мы посвятим изучению таких математических моделей и составим «инструкции» — где и какой инструмент в них нужно применить.

Решение простейших тригонометрических уравнений

Вы уже знаете, как можно записать решения каждого из них с помощью аркфункций.

Решением уравнения , где , являются значения .

Решением уравнения , где , являются значения .

Если же значения  будут больше  или меньше , то уравнения  и  не будут иметь решений.

Решением уравнений и являются значения  и соответственно.

Здесь ограничений на  нет, это может быть любое действительное число.

Это основные формулы, которые у вас должны быть. Теперь разберёмся в тонкостях.

1) В записи решений для каждого вида уравнений у нас присутствует целое число . И запись корней можно встретить в таком виде:

.

То есть добавляется индекс . Тем самым мы как бы нумеруем решения целыми числами. Подобное мы встречали в записи корней квадратного уравнения :

;.

2) Значения некоторых аркфункций мы можем точно определить, используя таблицу значений тригонометрических функций (см. рис. 1).

Для этого находим ячейку в соответствующей строке и смотрим столбец, который ей соответствует. Например, . В строке тангенсов ищем . Этому значению соответствует столбец . Значит, .

Чтобы найти значения аркфункций для отрицательных аргументов, нужно использовать свойства аркфункций:

,

,

,

.

Например, .

Используя свойство: .

Из таблицы: .

Тогда .

Если в решении уравнения вам встретилось табличное значение аркфункции, обязательно нужно его вычислить. Тогда вы получите более корректный ответ, как, например, в случае решения уравнения . Ответ в нём тоже можно записать с помощью корня: . Но зачем использовать в записи корень, если можно вычислить его значение: . Та же ситуация и с аркфункциями.

3) В некоторых случаях запись ответа можно сократить. Вы уже знаете, как это сделать для косинуса.

Решение уравнения  можно записать как .

Для уравнения  решение .

Для уравнения  решение .

Аналогично и для синуса.

Решение уравнения  можно записать как .

Для уравнения  решение .

Для уравнения  решение , или .

Все эти формулы являются следствием из общих формул. О том, как их получить, вы можете узнать, посмотрев ответвление.

Формулы корней тригонометрических уравнений в частных случаях

Вспомним, что формулы корней тригонометрических уравнений в общем случае мы получали, рассматривая единичную окружность. Формулы для частных случаев также удобно вывести с помощью единичной окружности.

1) . Этому значению косинуса соответствует точка (см. рис. 1). Решение мы можем записать как  или просто .

2) . Этому значению косинуса соответствует точка (см. рис. 2). Решение можно записать как .

3) . Этому значению синуса соответствует точка (см. рис. 3). Решение можно записать как .

4) . Этому значению синуса соответствует точка (см. рис. 4). Решение можно записать как . Или ещё точку можно соотнести с углом , тогда решение: . Обе эти записи описывают одно и то же множество решений.

5) . Решению соответствуют точки и (см. рис. 5). Это значения ,,, и т. д. Их можно записать одной формулой: .

6) . Решению соответствуют точки и (см. рис. 6). Это значения ,,, и т. д. Их можно записать одной формулой: .

В целом вам нужно понимать, что рассмотренные формулы просто позволяют кратко описать все решения уравнений. А чтобы выделить отдельные корни, нужно подставлять в формулы различные целые значения . Рассмотрим пример.

Задание 1. Сколько корней имеет уравнение  на отрезке ?

Как записать общий вид решения, мы знаем:

.

Значение  можно найти по таблице: . Тогда:

.

Чтобы ответить на вопрос задачи, начинаем подставлять различные значения . Начнём с нуля.

.

Значение входит в промежуток. Посмотрим меньшие значения:

;

.

Оба значения вне промежутка, они не подходят . Кроме того, мы видим, что при уменьшении  корни становятся ещё меньше. Так что при меньших  корни также не будут входить в промежуток. Теперь смотрим значения  больше нуля.

;

;

.

и  входят в промежуток, а  уже нет . Таким образом, под условие подходят всего 3 корня: при ,,.

Ответ: 3 корня.

Этот же результат можно получить по-другому.

Раз корни должны принадлежать промежутку , то нужно найти количество целых решений двойного неравенства:

.

Нетрудно увидеть, что все три части неравенства можно разделить на  и умножить на 6, чтобы избавиться от знаменателя:

.

Такое неравенство несложно решить.

;

;

.

Ответ: 3 корня.

Метод замены в тригонометрических уравнениях

Теперь перейдём к более сложным уравнениям с тригонометрическими функциями. Основная идея их решения — свести задачу к той, которую мы уже умеем решать. То есть привести всё к решению простейших тригонометрических уравнений.

Задание 2. Решите уравнение:

.

Тут у нас аргумент косинуса не просто . Но это не сильно осложняет задачу. Введём новую переменную:

.

Уравнение примет вид: .

Это уже простейшее тригонометрическое уравнение, мы знаем его решения:

.

Или, определив значение арккосинуса по таблице:

.

Мы нашли , но исходная задача — найти . Делаем обратную замену:

.

Осталось выразить . Переносим  в правую часть:

.

Делим на  обе части уравнения:

.

Корни с  и с  можно рассмотреть по отдельности. Получим:

или ,

или .

Итак, для решения подобных уравнения нужно:

1. Заменить аргумент тригонометрической функции новой переменной.

2. Решить полученное простейшее тригонометрическое уравнение.

3. Выполнить обратную замену и выразить неизвестную величину.

В ответвлении вы можете ознакомиться с более сложным уравнением, которое решается методом замены аргумента.

Практическое задание

Пример

Решите уравнение:

.

Обратите внимание, что в квадрат возводится именно аргумент функции, а не сама функция.

Действуем по алгоритму.

1) Заменяем аргумент функции новой переменной: . Получаем простейшее тригонометрическое уравнение:

.

2) Его решение:

.

3) Делаем обратную замену:

.

Осталось выразить . В отличие от предыдущего задания, здесь  не в первой, а во второй степени. Нужно быть внимательными. По сути, мы имеем дело с уравнением вида . Решениями такого уравнения являются , но только в том случае, если — неотрицательное число. Если же — отрицательное, уравнение не будет иметь корней.

Нужно проверить, всегда ли в правой части у нас неотрицательное число?

При  правая часть равна , это положительное число. При больших значениях  правая часть также будет положительной.

При  правая часть равна , это отрицательное число. Для меньших значений  правая часть также будет отрицательной.

Таким образом, уравнение будет иметь решения только для . И эти решения можно будет записать как:

.

Рассмотрим ещё один тип уравнений, которые можно свести к решению простейших тригонометрических уравнений с помощью замены.

Задание 3. Решите уравнение:

.

В уравнении видим одну и ту же тригонометрическую функцию, тангенс, с одинаковым аргументом . Заменим  на новую переменную: . Получим уравнение:

.

Это квадратное уравнение, мы такие умеем решать. Получаем корни: или .  Делаем обратную замену:

или .

Итак, мы свели наше уравнение к решению двух простейших тригонометрических уравнений. Запишем их решения:

,

,

;

,

.

Получаем ответ:

или .

Правда, если в ответе получается несколько серий решений, принято использовать в них разные буквы. Поэтому точнее будет записать:

или .

Аналогичным способом можно решить и другие уравнения, в которых встречается лишь одна тригонометрическая функция с одинаковым аргументом.

Сформулируем алгоритм:

1. Заменить повторяющуюся тригонометрическую функцию новой переменной.

2. Решить полученное уравнение. Оно может быть линейным, квадратным, дробно-рациональным, иррациональным. Методы решения всех этих уравнений вы уже знаете.

3. Выполнить обратную замену и решить полученные простейшие тригонометрические уравнения.

Применение формул при решении тригонометрических уравнений

В некоторых уравнениях изначально нет одинаковых тригонометрических функций c одинаковыми аргументами. Поэтому сразу метод замены использовать не получится. Но их можно получить, используя различные формулы: формулы приведения, основное тригонометрическое тождество, формулы двойного аргумента и прочие.

Задание 4. Решите уравнение:

.

Сразу мы не можем заменить косинус — аргументы разные. Чтобы получить одинаковые тригонометрические функции, используем формулу двойного аргумента. Выберем ту, в которой есть только — тогда мы сразу сможем сделать замену:

.

Подставляем в уравнение:

.

Теперь в уравнении есть только . Делаем замену: .

Получаем уравнение относительно :

.

Или, упростив, . Корни уравнения:

или .

Выполняем обратную замену:

или .

Первое уравнение имеет решения .

Второе уравнение не имеет решений.

Ответ: .

Задание 5. Решите уравнение: .

Тут две разные тригонометрические функции с разными аргументами. Метод замены не сработает. Попробуем привести к одному аргументу. По формуле двойного аргумента:

.

Тогда:

.

Делим обе части на 2:

На  делить нельзя, так как он может оказаться равным нулю, а на ноль делить нельзя.

Итак, мы получили одинаковые аргументы, но функции разные. Если бы синус или косинус были в квадрате, мы могли бы использовать основное тригонометрическое тождество.

Здесь нам на помощь придёт ещё один метод решения тригонометрических уравнений — метод разложения на множители. С ним вы знакомы ещё с решения квадратных и других рациональных выражений. Напомним.

Шаг 1. Переносим все слагаемые в левую часть уравнения.

Шаг 2. Раскладываем левую часть на множители.

Если произведение равно нулю, то равен нулю хотя бы один из множителей. Таким образом, исходное уравнение распадается на несколько более простых уравнений.

Шаг 3. Решаем полученные уравнения, записываем ответ.

Применим этот метод к нашему уравнению.

Шаг 1.

.

Шаг 2. Выносим :

.

Произведение равно нулю, значит, хотя бы один из множителей равен нулю:

или ,

или .

Получили два простейших тригонометрических уравнения. Запишем их решения:

,

.

Получаем ответ: или .

Но если внимательно посмотреть на наш ответ, то можно увидеть, что мы в нём записали лишнюю информацию.

Так, корни  соответствуют значениям  и т. д.

Корни  соответствуют значениям  и т. д.

Видим, что значения, перечисленные во второй строке, повторяют некоторые значения из первой строки. То есть в ответе мы их записали по два раза. Конечно, это излишне, достаточно записать их один раз. Для этого можно оставить только корни . Они опишут все решения данного уравнения.

Ответ: .

Таким образом, если вы решаете уравнение методом разложения на множители, обращайте внимание, не записали ли вы в ответ повторяющиеся корни.

С ещё одним типом уравнений, которые решаются с помощью тригонометрических формул, вы можете ознакомиться в ответвлении. Данное ответвление обязательно к просмотру для учеников профильного уровня, для всех остальных — по желанию.

Уравнения вида

Решите уравнение:

.

В левой части стоит выражение вида . Как вы знаете, его можно преобразовать:

.

Где , а .

В данном случае ;.

Тогда:

.

Осталось найти такой угол, косинус и синус которого будут равны . Это угол .

Тогда:

.

Мы упростили левую часть уравнения. Получили:

.

Это уравнение уже легко свести к простейшему тригонометрическому. Делим на :

.

Делаем замену: .

Решая уравнение , получаем: . Или:

.

Делаем обратную замену:

,

.

Для любых других уравнений вида  алгоритм решения будет такой же:

1. Упрощаем выражение слева.

2. Решаем полученное простейшее тригонометрическое уравнение.

Преобразование суммы в произведение в тригонометрических уравнениях

Для решения уравнений методом разложения на множители удобно использовать формулы преобразования суммы тригонометрических функций в произведение.

Задание 6. Решите уравнение: .

Преобразуем сумму косинусов в произведение по формуле:

.

Получаем:

.

Получаем уравнение: .

Произведение равно нулю, значит, хотя бы один из множителей равен нулю:

или .

Решая эти простейшие тригонометрические уравнения, получаем:

или ;

или .

Задание 7. Решите уравнение: .

Переносим всё в левую часть и пытаемся разложить на множители:

.

Получили разность синуса и косинуса, формулы для такой разности нет. Использовать преобразование для выражений вида  мы не можем — аргументы разные.

Тогда вспомним, что во всех преобразованиях суммы в произведение у нас стоят одинаковые функции. Синус — синус, косинус — косинус. Если у нас получится превратить косинус в синус, мы сможем применить эти преобразования. Для этого у нас есть формулы приведения:

.

Тогда: . Получаем новое уравнение:

.

И вот теперь уже можем применить формулу разности синусов:

.

Упростив аргументы, получаем:

.

Произведение равно нулю, значит, один из множителей равен нулю:

или .

В итоге получаем ответ:

или .

Однородные тригонометрические уравнения. Системы тригонометрических уравнений

Среди тригонометрических уравнений выделяют ещё один тип уравнений — однородные. Они имеют вид:

— однородные уравнения первой степени;

— однородные второй степени.

И так далее: каждое слагаемое — это произведение тригонометрических функций, причём сумма степеней одинакова.

Алгоритм решения таких уравнений следующий. Если , то из этих уравнений следует, что и . Это противоречит основному тригонометрическому тождеству. Тогда  и мы можем разделить на него обе части уравнения. В случае однородных первой степени — на , в однородных второй степени — на . Это позволит перейти к уравнению с одной тригонометрической функцией (тангенсом), которое можно решить методом замены. Рассмотрим на примере:

Задание 8. Решите уравнение: .

Делим обе части на :

.

Сокращаем дроби:

.

Поскольку , то уравнение принимает следующий вид:

.

Получили уравнение с одной тригонометрической функцией. Делаем замену . Получаем квадратное уравнение . Корнями уравнения являются и .

Делаем обратную замену:

или .

Решая два этих уравнения, получаем ответ:

или .

Математической моделью задачи могут быть не только уравнения. Если у нас есть несколько неизвестных и несколько условий, то мы получим систему уравнений.

Задание 9. Решите систему уравнений:

Из первого уравнения легко можно выразить одну переменную через другую. Таким образом, здесь сработает стандартный метод решения систем — метод подстановки.

Из первого уравнения: . Подставляем во второе уравнение:

.

Мы получили тригонометрическое уравнение с одной неизвестной, которое мы уже умеем решать.

Попробуйте решить его самостоятельно. Если возникнут проблемы — смотрите ответвление.

Решение уравнения

.

Используем формулу приведения:

.

Получим уравнение:

,

,

;

,

.

Корни уравнения:

.

Не забываем найти вторую переменную:

.

Чтобы было удобно раскрывать скобки, лучше отдельно рассмотреть корни с плюсом и с минусом:

;

.

Кроме метода подстановки для решения систем тригонометрических уравнений можно применить метод замены.

Задание 10. Решите систему уравнений:

Делаем замену: ;.

Получаем систему:

Полученная система состоит из двух простейших тригонометрических уравнений. Каждое из них мы можем легко решить:

;.

Обратите внимание: мы решаем разные уравнения, поэтому и буквы для целых чисел выбираем разные — и .

Делаем обратную замену:

;.

Получили систему линейных уравнений. Её удобно решить методом сложения. Складывая левые и правые части уравнений, получим:

,

.

Вычитая левые и правые части, получим:

,

.

Ответ: ;.

Тригонометрические неравенства

Помимо уравнений, математической моделью задачи может быть и неравенство. В 9-м классе мы уже говорили, что решение любого неравенства можно свести к решению уравнения с помощью метода интервалов. Напомним алгоритм:

1. Решаем соответствующее уравнение.

2. Отмечаем на оси корни уравнения.

3. Определяем знаки на полученных интервалах методом пробной точки. Для ответа выбираем нужные интервалы.

Для решения тригонометрических неравенств мы также можем использовать метод интервалов. Но на втором шаге у нас возникнет проблема: решений бесконечно много, все мы их на оси не отметим. Поэтому выбирать нужные интервалы надо будет другим способом. Давайте посмотрим каким.

Для начала вспомним, как мы искали решения для тригонометрических уравнений. Для синусов и косинусов удобно было использовать единичную окружность. Для решения уравнения  нужно было найти на единичной окружности такие точки, ордината которых равна . Описав углы, соответствующие этим точкам, мы и получали корни уравнения (см. рис. 2).

Неравенства будем решать аналогичным образом. Решению неравенства  соответствуют все точки на окружности, ординаты которых больше . Это будут точки дуги (рис. 3).

Точки и — это решения уравнения , поэтому мы знаем соответствующие им значения углов:

,

.

Тогда дуге соответствуют углы: . Обратите внимание: скобки круглые, так как неравенство строгое. Это и будет решением данного неравенства.

Данная запись описывает все интервалы, которые удовлетворяют неравенству. По сути, это объединение интервалов для всех целых значений :

При решении тригонометрических неравенств нужно внимательно следить, чтобы левая граница промежутка была меньше правой границы. Так, при решении неравенства  можно ошибочно записать ответ . Да, точке соответствуют углы , точке — углы , решения — это именно дуга (см. рис. 4).

Но такая запись ответа ошибочна. При получаем промежуток . Но , левая граница получилась больше правой. То же самое будет и для других значений .

Чтобы правильно записать ответ, правую границу нужно сделать больше левой. Для этого точку L будем описывать как , просто прибавив период . Получим уже корректный ответ:

.

Решение тригонометрических уравнений с учётом ОДЗ

Вернёмся к решению уравнений. Как мы уже увидели, для решения более сложных тригонометрических уравнений мы, по сути, комбинировали алгоритмы решения простейших тригонометрических уравнений и решения других уравнений: линейных, квадратных. Из других изученных типов мы знаем ещё дробно-рациональные и иррациональные уравнения. В них также могут встречаться тригонометрические функции.

Особенностью этих уравнений является ограничение ОДЗ. Вспомним: нельзя делить на ноль и извлекать корень из отрицательного числа.

Задание 11. Решите уравнение:

.

Сначала определим ОДЗ. Знаменатель не должен быть равен нулю, поэтому:

.

Из решения нужно будет исключить все значения , для которых . Или же, преобразовав это уравнение, . Чтобы в итоге было проще учесть ОДЗ, решать это уравнение не будем, а оставим в таком виде:

ОДЗ: .

Переходим к решению исходного уравнения. Дробь равна нулю в том случае, если её числитель равен нулю:

,

.

На этом этапе учтём ОДЗ. Из корней уравнения  нужно исключить корни уравнения . Есть ли вообще что исключать? Проверим это, использовав основное тригонометрическое тождество:

,

.

Тождество выполняется, значит, есть такие значения, для которыхи. Их нам и нужно будет исключить из решения. Этим условиям соответствует точка из первой четверти (см. рис. 5), так как синус и косинус положительны.

Общее решение уравнения :

.

Значения  описывают точку из первой четверти (рис. 5), их нужно исключить из решения.

Значения  описывают точку из четвёртой четверти (рис. 5), она входит в ОДЗ.

Получаем ответ: .

В общем случае можно сформулировать следующий алгоритм для решения подобных уравнений:

1. Записать ОДЗ с помощью простейшего тригонометрического уравнения.

2. Свести исходное уравнение к решению одного или нескольких простейших тригонометрических уравнений.

3. С помощью основного тригонометрического тождества (или следствий из него) проверить, есть ли точки, которые нужно исключить из решения.

4. Исключить соответствующие значения из решения. Определить, какие именно решения не входят в ОДЗ, удобно с помощью четвертей координатной плоскости.

Задание 12. Решите уравнение .

Здесь видим квадратный корень, извлекать мы его можем только из неотрицательных чисел:

.

Или, умножив на –1, получим ОДЗ:

.

Переходим непосредственно к решению уравнения. Произведение равно нулю, значит, один из множителей равен нулю.

или .

Второму уравнению соответствуют значения .

Первое уравнение решим методом замены:

,

.

Корнями квадратного уравнения являются значения:

или .

Обратная замена:

или .

Отметим сразу, что уравнение  не имеет решений. Итак, исходное уравнение свелось к решению двух простейших уравнений:

или .

С учётом ОДЗ .

Очевидно, что корни первого уравнения входят в ОДЗ:

.

Во втором уравнении нужно будет учесть ОДЗ. Решения неравенства  соответствуют точкам на единичной окружности из 2-й и 3-й четверти (см. рис. 6).

Общее решение уравнения :

.

Чётные значения  соответствуют точке в первой четверти (см. рис. 7):

.

Нечётные значения  соответствуют точке во второй четверти (см. рис. 8):

,

.

В ОДЗ точки из первой четверти не входят, эти решения отбрасываем. Получаем ответ:

или .

Сегодня мы с вами рассмотрели различные методы решения тригонометрических уравнений, а также познакомились с решением простейших тригонометрических неравенств. Чтобы отработать навыки решения и научиться применять все эти методы, вы можете пройти тесты и тренажёры. Чем больше практики — тем легче вы сможете находить нужный метод.

На этом урок окончен, спасибо за внимание!

Список литературы

1. Алгебра и начала математического анализа (базовый и углублённый уровни) / Ш. А. Алимов, Ю. М. Колягин, М. В. Ткачёва [и др.]. — М.: АО «Издательство «Просвещение», 2017–2019.

2. Алгебра и начала математического анализа. 10 класс: Учебник. Базовый и профильный уровни / С. М. Никольский, М. К. Потапов, Н. Н. Решетников [и др.]. — М.: АО «Издательство «Просвещение», 2021.

Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

1. Интернет-портал «educon.by» (Источник).

Домашнее задание

1. Сколько корней имеет уравнение на промежутке .

2. Решите уравнение .

3. Решите уравнение .

4. Решите уравнение .

5. Решите уравнение .

6. Решите систему уравнений

7. Решите уравнение .

8. Решите неравенство .