01. Числовые последовательности и их свойства. Предел числовой последовательности
17 мин
02. Предел числовой последовательности. Сумма бесконечной геометрической прогрессии
30 мин
03. Предел функции
19 мин
04. Определение производной, её физический и геометрический смысл. Алгоритм нахождения производной
22 мин
05. Примеры вычисления основных производных. Типовые задачи
19 мин
06. Таблица производных. Типовые задачи
28 мин
07. Правило дифференцирования. Типовые задачи
39 мин
08. Дифференцирование функции y = f(kx + m)
17 мин
09. Уравнение касательной к графику функции
21 мин
10. Применение производной для исследования функций на монотонность и экстремумы
25 мин
11. Применение производной для нахождения наибольшего и наименьшего значений непрерывной функции на промежутке
26 мин
12. Исследование функции y = 3x⁵ − 5x³ + 2 с помощью производной
16 мин
13. Исследование функции y = 3x⁵ − 5x³ + 2 без производной
19 мин
14. Исследование функции, её график, сопутствующие задачи на примере функции f(x) = 3x⁵ − 5x³ + 2. Задача с параметром
13 мин
15. Методика исследования функций на примере f(x) = x√(2-x)
11 мин
16. Построение графика функции f(x) = x³ − 3x + 4 с помощью производной, сопутствующие задачи
24 мин
17. Исследование функции y = (x³ − 4) : (x − 1)³ и сопутствующие задачи
23 мин
18. Дифференцирование сложных функций. Задача из практики подготовки к ЕГЭ по математике
35 мин
19. Планиметрические задачи на экстремум
28 мин
20. Производная в задачах на прямоугольный параллелепипед
23 мин
21. Приближённые вычисления
16 мин
22. Задачи на расстояние от точки до кривой
22 мин
23. Типовые задачи на производную с иррациональными функциями
24 мин
24. Типовые задачи на производную с тригонометрическими функциями. Функция f(x) = cos²x − cos x
16 мин
25. Типовые задачи на касательную
16 мин
07. Правило дифференцирования. Типовые задачи
Видео доступно по абонементу
Производная суммы
Дано:;.
Существует;.
Доказать, что существует производная от суммы заданных функций и она вычисляется по следующему правилу:
Доказательство
Пусть задана функция, требуется найти.
По стандартному алгоритму требуется найти отношение:
При получаем:
Что и требовалось доказать.
Так, производная от суммы функций равна сумме производных этих функций.
Аналогично производная разности функций равна разности производных:
Пример
1..
2. Найти значение производной функциив точке:
;
Производная произведения
Дано:;.
Существует;.
Доказать, что существует производная от произведения и вычисляется она по правилу:
Доказательство
Нужно использовать разностное отношение по стандартному алгоритму нахождения производной. Это разностное отношение можно проиллюстрировать. Пусть есть прямоугольник со сторонами;. Пусть первая сторона получает приращение, вторая, соответственно,. Приращение может быть любого знака. Получили новый прямоугольник, см. рис. 1.
Площадь любого прямоугольника (старого, нового, их разности) мы можем посчитать.
Составим разностное соотношение. Пусть, ищем:
При:
А первое слагаемое стремится к нулю, так как стремится к нулю.
Так, производная произведения функций:
Что и требовалось доказать.
Рассмотрим важное следствие. Пусть, константа. Согласно правилу:
Так, постоянный множитель можно вынести за знак производной.
Производная степенной функции
Производная степенной функции:
Рассмотрим частные случаи:
;
Найдем эту производную по правилу произведения:
С другой стороны:
И так далее.
Поэтому угадывается формула:
– мы принимаем ее без доказательства.
Производная частного
Дано:;.
Существуют;.
При этом, а значит, существует дробь.
Доказать, что существует производная частного и вычисляется по формуле:
Доказательство
Представим.
Тогда по формуле производной произведения:
С другой стороны:
Из этих двух выражений получаем уравнение:
Умножим все уравнение на:
Что и требовалось доказать.
Решение примеров
Пример
Пример
Найти, если.
Решение
Вывод
Итак, мы рассмотрели правила дифференцирования и решили типовые примеры.
Список литературы
Алгебра и начала анализа, 10 класс (в двух частях). Учебник для общеобразовательных учреждений (профильный уровень) / под ред. А.Г. Мордковича. – М.: Мнемозина, 2009.
Алгебра и начала анализа, 10 класс (в двух частях). Задачник для общеобразовательных учреждений (профильный уровень) / под ред. А.Г. Мордковича. – М.: Мнемозина, 2007.
Виленкин Н.Я., Ивашев-Мусатов О.С., Шварцбурд С.И. Алгебра и математический анализ для 10 класса (учебное пособие для учащихся школ и классов с углубленным изучением математики) – М.: Просвещение, 1996.
А.Н. Колмогоров, А.М. Абрамов, Ю.П. Дудницын и др. Алгебра и начала анализа. Учеб. для 10-11 кл. – М.: Просвещение, 1990.
Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет
Интернет-портал «cleverstudents.ru» (Источник).
Домашнее задание
Найти производную: ;;
Найти производную: ;
Найти производную в точке: