02. Предел числовой последовательности. Сумма бесконечной геометрической прогрессии

Предел числовой последовательности

Числовая последовательность – частный случай функции, которая задана на множестве натуральных чисел. Некоторые числовые последовательности сходятся, то есть имеют предел, тогда пишут

 либо по-иному:

когда, это означает, что при достаточно больших n,.

Более точно, если у нас есть предел и его e – окрестность, то начиная с некоторого номера все члены последовательности находятся в -окрестности точки b.

Рис. 1. Члены последовательности находятся в - окрестности точки b

Определение предела числовой последовательности

Пример 1

Последовательность. Предел этой последовательности, это означает, что при достаточно больших n, все находятся вблизи от нуля. Может ли быть здесь два предела? Докажем, что если последовательность имеет предел, то он только один.

Вот последовательность и два предела.

и два предела

Что значит? Это означает, что найдется такая малая окрестность точки, что начиная с некоторого номера все члены последовательности находятся в этой -окрестности.

А что значит? Это означает, что начиная с некоторого номера все члены последовательности находятся в -окрестности точки. Но возможно ли это? Между и есть некое расстояние.

Выберем,- окрестности не пересекаются. Начиная с некоторого номера все члены последовательности находятся в ε-окрестности одной точки и второй точки, но эти ε-окрестности не пересекаются. Таким образом, если у последовательности есть предел, то он один.

Определение: число b называется пределом последовательности, если в любой заранее выбранной -окрестности точки b,, содержатся все члены последовательности начиная с некоторого номера.

Число может быть очень малым. Сходящиеся последовательности – те последовательности, которые имеют предел.

Свойства сходящейся числовой последовательности

Если последовательность сходится, то:

1. только к одному пределу;

2. она ограничена.

Как узнать, что последовательности сходятся? Для некоторых последовательностей это можно сделать. Если последовательность монотонна и ограничена, то она сходится.

Теорема Вейерштрасса

Последовательность возрастает. Число точек не ограничено, последовательность ограничена числом b. Значит, к числу b либо к любому другому числу все точки последовательности сгущаются. Это наглядно показывает, что монотонность и ограниченность – два свойства, которые являются достаточными для того, чтобы последовательность имела предел. В этом смысл теоремы Вейерштрасса.

Теорема для вычисления пределов конкретных последовательностей

Даны две последовательностии, и. Последовательности сходящиеся.

1.  – новая последовательность, ее предел. Предел суммы последовательностей, равен сумме пределов этих последовательностей.

2. Этот предел равен произведению, то есть произведению этих пределов.

3. Предел этой последовательности, то есть предел частного равен, где.

4. , где постоянный множитель, который можно вынести за знак предела.

Примеры с использованием теоремы вычисления

Пример 1

, мы знаем, что, отсюда.

Пример 2

Найти предел последовательности.

Последовательность, сходящаяся, имеет предел, равный 1.

Задача на геометрическую прогрессию

Перейдем к следующей задаче.

Найдем сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии. Геометрическая прогрессия обозначается следующим образом:

Второй член геометрической прогрессии

, где – знаменатель прогрессии, третий член и т.д.

 – определение геометрической прогрессии, членов у этой прогрессии бесчисленное множество.

Прогрессия называется убывающей, если знаменатель по модулю меньше единицы:

.

Рассмотрим последовательность частичных сумм.

.

Если есть конечная геометрическая прогрессия, то сумма членов вычисляется по этой формуле. Необходимо знать первый член, знаменатель и число членов.

Бесконечная убывающая прогрессия

Если последовательность

 стремится к некоторому числу, то это число и будет называться суммой бесконечной геометрической убывающей прогрессии, если это число есть, то это сумма  

то есть это сумма бесконечного числа слагаемых.

, чтобы доказать это, предварительно обсудим следующее утверждение:

, если .

Пусть, тогда,, и т.д. Понятно, что с ростом n дробь уменьшается, естественно предположить, что. Тогда становится понятно, что последовательность

 убывает, ограничена снизу и имеет предел, равный нулю.

.

Утверждение «Сумма бесконечной геометрической прогрессии»

Сумма бесконечной геометрической прогрессии.

Если знаменатель q  геометрической прогрессииудовлетворяет неравенству, то сумма S прогрессии вычисляется по формуле:.

Докажем эту формулу.

Доказательство: вспомним, что S – это предел последовательности частичных сумм. Постоянный множитель

 от n не зависит. От n зависит. Постоянный множитель можем вынести за знак предела. Получаем предел разности, что в свою очередь является разностью пределов:

Формула доказана.

Задача на сумму геометрической прогрессии

Пример

Найти сумму геометрической прогресси:

.

;.

Значит, имеем бесконечную убывающую геометрическую прогрессию:  

.

Ответ:.

Обсудим задачу.

, значит,. Рассмотрим следующую геометрическую модель. Имеем отрезок AB

 длиной в единицу.первое слагаемое, уже половина отрезка, второе слагаемоеэто половина оставшегося отрезка, третье слагаемоеполовина оставшегося отрезка и т.д.

Апории Зенона

В заключении вспомним и упростим апории Зенона, согласно которой, как он доказывал, Ахиллес никогда не догонит черепаху. Мы остановим черепаху и докажем, что Ахиллес или другой бегун никогда не поравняется с черепахой. Необходимо найти ошибку в рассуждениях.

В точке A – бегун, в точке B – черепаха, расстояние AB=1, скорость бегуна V=1. Пробегая половину пути, бегун затратит время, теперь он находится в точке C.

Далее ему нужно затратить время, чтобы пройти половину пути. И все равно черепаха впереди, а бегун сзади. Бегун проходит еще часть пути, затратив время, и достигает точки. Но черепаха  впереди, а бегун сзади.

И все равно черепаха впереди, а бегун сзади. Между ними расстояние. Чтобы пройти расстояние и попасть в точку

, нужно затратить время. Но черепаха опять впереди, а бегун сзади. И так далее. Доказали, что никто и никогда не поравняется с черепахой.

Вывод

Мы сформулировали определение числовой последовательности, рассмотрели предел числовой последовательности, а также сумму бесконечной геометрической прогрессии, привели примеры задач на предел числовой последовательности.

Список литературы

1. Алгебра и начала анализа, 10 класс (в двух частях). Учебник для общеобразовательных учреждений (профильный уровень) под ред. А. Г. Мордковича. –М.: Мнемозина, 2009.

2. Алгебра и начала анализа, 10 класс (в двух частях). Задачник  для общеобразовательных учреждений (профильный уровень) под ред. А. Г. Мордковича. –М.: Мнемозина, 2007.

3. Виленкин Н.Я., Ивашев-Мусатов О.С., Шварцбурд С.И. Алгебра и математический анализ для 10 класса (учебное пособие для учащихся школ и классов с углубленным изучением математики).-М.: Просвещение, 1996.

4. Галицкий М.Л., Мошкович М.М., Шварцбурд С.И. Углубленное изучение алгебры и математического анализа.-М.: Просвещение, 1997.

5. Сборник задач по математике для поступающих во ВТУЗы (под ред. М.И.Сканави).-М.:Высшая школа, 1992.

6. Мерзляк А.Г., Полонский В.Б., Якир М.С. Алгебраический тренажер.-К.: А.С.К., 1997.

7. Саакян С.М., Гольдман А.М., Денисов Д.В. Задачи по алгебре и началам анализа (пособие для учащихся 10-11 классов общеобразов. учреждений).-М.: Просвещение, 2003.

8. Карп А.П. Сборник задач по алгебре и началам анализа : учеб. пособие для 10-11 кл. с углубл. изуч. математики.-М.: Просвещение, 2006.

Рекомендованное домашнее задание

1. Найти четвертый член геометрической прогрессии, если

   ,

   .

2. Определить знаменатель q и сумму S геометрической прогрессии

   если

   ,.

3. Найти сумму геометрической прогрессии

   , если.

Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

1. Интернет-портал «mathematics-repetition.com» (Источник).

2. Интернет-портал «mathematics-tests.com» (Источник).