03. Предел функции

Пример функции

Пусть задана функция

и значение

, значение аргумента. Что происходит с функцией, если

?

Рассмотрим функцию, запримем число 2, оно принадлежит области определения, т. е.

, также известно, что

.

Пусть, нам необходимо выяснить, что происходит с функцией и какова роль числа

.

, x=2

Понятие предела функции, выделение

Начнем с выделения ε-окрестности в точке

,– это произвольное малое число, например

, тогда

,

, имеем

-окрестность для. Имеем горизонтальную полосу шириной

, получаем точки A и. 

,,,

 Значение достигается, когда, Значение достигается, когда.

 меньше, чем, однако точка

ближе к 2, значит, замы выберем.

, так мы получили -окрестность для x=2, получили точку B.

– окрестность точки 2 выделяет такой кусок графика, который целиком расположен в горизонтальной полосе шириной

, x=2

Кривая AB находится внутри горизонтальной полосы – это означает, что как только x попадет в δ-окрестность точки 2, y попадет в -окрестность точки.

То есть yи точность приближения зависит от. может быть сколько угодно малым числом, главное, чтобы положительным, но при заданном можно найти такое, что как только x попадет в δ-окрестность точки 2, y попадет в-окрестность точки, именно этим обстоятельством нам важна.

 при. Для любой узкой горизонтальной полосы вокруг точки найдется подходящая вертикальная полоса вокруг точки x=2 такая, что выделяет такой кусок графика, который целиком находится в горизонтальной полосе.

Число называется пределом функции при, если сказанное справедливо для любого положительного.

Записывается это следующим образом:

Если x находится вблизи точки 2, то y находится вблизи своего предела, вблизи точки.

Предел функции в точке

Была функция, мы умножим числитель на x-2, и разделим числитель на x-2, ясно, что в точке 2 функция не существует, распишем эту функцию:

Наша новая функция совпадает со старой функцией везде, кроме одной точки, нарисуем новый чертеж:

Важные отличия функций и

Важные отличия:

•  – предел равен f(2).

• Непрерывна в точке

  .

• – предел
  .

• Главное различие – это наличие разрыва в ОДЗ.

• Не является непрерывной в точке

  .

Определения функции

Если первая функция существовала в точке 2, то вторая функция не существует в точке 2, а предел у них один и тот же.

 непрерывна потому, что предел этой функции при равен , т. е. значению функции в точке 2, чего нельзя сказать про функцию номер 2.

 можно заменить на.

 можно заменить другим числомиз ОДЗ и получить важные определения:

1. Функцию называют непрерывной в точке x=a, если выполняется соотношени

2. Функцию y=f(x) называют непрерывной на промежутке X, если она непрерывна в каждой точке этого промежутка.

Утверждение непрерывности функции

Если выражение f(x) составлено из рациональных, иррациональных, тригонометрических выражений, то функция непрерывна в любой точке, в которой определено выражение, т. е.

Это утверждение позволяет определять, где данная функция непрерывна.

Теорема для вычисления пределов

Но каким образом вычислять пределы? Для этого существует теорема:

Если,

, то:

1.  – предел суммы f и g при равен сумме пределов, т. е. b+c.

2.  – предел произведения f и g при  равен произведению пределов, т. е..

3.  – предел частного при, есть частное от пределов, т. е. при

4.  – предел произведения коэффициента k на функцию равен k, умноженному на предел этой функции, т. е. постоянный множитель можно вынести за знак предела.

Пример 1, найти

Найти.

Во-первых, нужно взять предел от и отнять предел, во-вторых, в точке 1 функция непрерывна, значит, предел функции в этой точке равен значению функции при x=1, т. е. единицу подставляем, получаем:

Ответ: -1.

Пример 2, найти

Найти.

0 входит в область определения функции, значит, предел функции при равен значению функции в точке 0, функция непрерывна в точке 0, т. е. подставляем 0 и получаем:

Ответ: 0.

Вывод
Мы познакомились с важными понятиями предела функции в точке, непрерывности функции в точке, привели примеры.

Список литературы

1. Алгебра и начала анализа, 10 класс (в двух частях). Учебник для общеобразовательных учреждений (профильный уровень) под ред. А. Г. Мордковича. – М.: Мнемозина, 2009.

2. Алгебра и начала анализа, 10 класс (в двух частях). Задачник для общеобразовательных учреждений (профильный уровень) под ред. А. Г. Мордковича. – М.: Мнемозина, 2007.

3. Виленкин Н.Я., Ивашев-Мусатов О.С., Шварцбурд С.И. Алгебра и математический анализ для 10 класса (учебное пособие для учащихся школ и классов с углубленным изучением математики). – М.: Просвещение, 1996.

4. Галицкий М.Л., Мошкович М.М., Шварцбурд С.И. Углубленное изучение алгебры и математического анализа. – М.: Просвещение, 1997.

5. Сборник задач по математике для поступающих во ВТУЗы (под ред. М.И. Сканави). – М.: Высшая школа, 1992.

6. Мерзляк А.Г., Полонский В.Б., Якир М.С. Алгебраический тренажер. – К.: А.С.К., 1997.

7. Саакян С.М., Гольдман А.М., Денисов Д.В. Задачи по алгебре и началам анализа (пособие для учащихся 10 –11 классов общеобразов. учреждений). – М.: Просвещение, 2003.

8. Карп А.П. Сборник задач по алгебре и началам анализа : учеб. пособие для 10 –11 кл. с углубл. изуч. математики. – М.: Просвещение, 2006.

Домашнее задание

1. Найти

2. Вычислить

3. Вычислить

Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

1. Интернет-портал «mathematics-tests.com» (Источник).