08. Преобразование сумм тригонометрических функций в произведение (сумма и разность косинусов)

Введение. Доказательство формулы суммы косинусов

На уроке выводится формула суммы косинусов из формул косинуса суммы и косинуса разности аргументов,  решаются примеры на вычисление, упрощение и решение уравнений с применением данных формул. Также выводится формула разности косинусов с помощью формул косинуса суммы и разности аргументов и решается несколько примеров.

Доказать:

Доказательство:

Складывая равенства, получается:

В полученной формуле вводятся обозначения:

Выразимичерези

Складывая и вычитая равенства, получается:

Итак,

Применение формулы при решении примеров

1. Упростить:

Решение:

Ответ:

2. Вычислить:

Решение:

1) 

2) 

Ответ: 1.

Применение формулы суммы косинусов при решении уравнений

4. Решить уравнение:.

Решение:

Рисунки 1 и 2 иллюстрируют, что множества решений объединить нельзя.

Ответ:

Решение уравнений вида cosαx+cosβx=0, где α≠±β

Решение:

Ответ:

Доказательство формулы разности косинусов

Доказать:

Доказательство:

Вычитая равенства, получаем:

В полученной формуле введем удобные обозначения, а именно:

Выразимичерези

Складывая и вычитая равенства, получаем

Итак,

Применение формулы разности косинусов при решении примеров

5. Вычислить:

Решение:

1)

2)

Ответ: -1.

Решение уравнений вида cosαx-cosβx=0, где α≠±β

Решение:

,

Выразив, получается ответ.

Ответ:

Итог урока

1),

2)и приимеют решения:

На уроке выводились и использовались формулы, по которым сумма и разность косинусов преобразуется в произведение.

На следующем уроке будут рассмотрены задачи на данную тему.

Список рекомендованной литературы

1. Алгебра и начала анализа, 10 класс (в двух частях). Учебник для общеобразовательных учреждений (профильный уровень) под ред. А. Г. Мордковича. –М.: Мнемозина, 2009.

2. Алгебра и начала анализа, 10 класс (в двух частях). Задачник  для общеобразовательных учреждений (профильный уровень) под ред. А. Г. Мордковича. –М.: Мнемозина, 2007.

3. Виленкин Н.Я., Ивашев-Мусатов О.С., Шварцбурд С.И. Алгебра и математический анализ для 10 класса (учебное пособие для учащихся школ и классов с углубленным изучением математики).-М.: Просвещение, 1996.

4. Галицкий М.Л., Мошкович М.М., Шварцбурд С.И. Углубленное изучение алгебры и математического анализа.-М.: Просвещение, 1997.

5. Сборник задач по математике для поступающих во ВТУЗы (под ред. М.И.Сканави).-М.:Высшая школа, 1992.

6. Мерзляк А.Г., Полонский В.Б., Якир М.С. Алгебраический тренажер.-К.: А.С.К., 1997.

7. ЗвавичЛ.И., Шляпочник Л.Я., Чинкина Алгебра и начала анализа. 8-11 кл.: Пособие для школ и классов с углубленным изучением математики (дидактические материалы).-М.: Дрофа, 2002.

8. Саакян С.М., Гольдман А.М., Денисов Д.В. Задачи по алгебре и началам анализа (пособие для учащихся 10-11 классов общеобразов. учреждений).-М.: Просвещение, 2003.

9. Карп А.П. Сборник задач по алгебре и началам анализа : учеб. пособие для 10-11 кл. с углубл. изуч. математики.-М.: Просвещение, 2006.

10. Глейзер Г.И. История математики в школе. 9-10 классы (пособие для учителей).-М.: Просвещение, 1983.

Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

1. Интернет-портал «‎mathematics.ru» (Источник). 

Сделай дома

№№ 22.2(а, в), 22.5(б, в), 22.10(а) (Алгебра и начала анализа, 10 класс (в двух частях). Задачник для общеобразовательных учреждений (профильный уровень) под ред. А. Г. Мордковича. –М.: Мнемозина, 2007.)