07. Преобразование сумм тригонометрических функций в произведение (сумма и разность синусов)

Введение. Доказательство формулы суммы синусов

На уроке выводятся формулы суммы и разности синусов из формул синуса суммы аргументов и синуса разности аргументов, решается несколько примеров на использование этих формул. Также  решается несколько примеров на преобразование суммтригонометрических функций в произведение.

Доказать:

Доказательство:

Складывая равенства, получим:

В полученной формуле вводятся удобные обозначения:

Выразимичерез

 Складывая и вычитая равенства, получим

В новых обозначениях имеем:

Примеры на применение формулы суммы синусов

1. а) Упростить:

Решение:

Ответ:

б) Вычислить:

Решение:

1) 

2) 

Ответ:

Применение формулы при решении уравнений

2. Решить уравнение:

Решение:

Решения второго уравнения (см. рис. 2) содержатся в решении первого (см. рис. 1), потому в ответ записываются только решения первого уравнения. Можно объяснить этот факт аналитически: формулауже содержит в себе, потому решения уравнениясодержатся в решениях

Ответ:

Решение уравнения sinαx+sinβx=0 с помощью формулы суммы синусов

3. Решить уравнение:

Решение:

Ответ:

Доказательство формулы разности синусов

4. Доказать:

.

Доказательство:

Воспользуемся формулой суммы синусов и свойством нечетности синуса:

Применение формулы разности синусов

5. Упростить:

Решение:

Ответ:

6. Вычислить:

Применение формулы разности синусов при решении уравнений

7. Решить уравнение: 

Решение:

Иллюстрацию расположения корней на единичной окружности смотри на рисунках 3-4.

Ответ:

Решение уравнений вида sinαx-sinβx=0

8. Решить уравнение:

Решение:

Ответ:

Итог урока

1)

2)

и

На уроке рассматривались формулы, по которым сумма и разность синусов преобразовывается в произведение, и решались некоторые задачи.

На следующем уроке будут рассмотрены формулы, по которым сумму и разность косинусов можно преобразовать в произведение.

Список рекомендованной литературы

1. Алгебра и начала анализа, 10 класс (в двух частях). Учебник для общеобразовательных учреждений (профильный уровень) под ред. А. Г. Мордковича. –М.: Мнемозина, 2009.

2. Алгебра и начала анализа, 10 класс (в двух частях). Задачник  для общеобразовательных учреждений (профильный уровень) под ред. А. Г. Мордковича. –М.: Мнемозина, 2007.

3. Виленкин Н.Я., Ивашев-Мусатов О.С., Шварцбурд С.И. Алгебра и математический анализ для 10 класса (учебное пособие для учащихся школ и классов с углубленным изучением математики).-М.: Просвещение, 1996.

4. Галицкий М.Л., Мошкович М.М., Шварцбурд С.И. Углубленное изучение алгебры и математического анализа.-М.: Просвещение, 1997.

5. Сборник задач по математике для поступающих во ВТУЗы (под ред. М.И.Сканави).-М.:Высшая школа, 1992.

6. Мерзляк А.Г., Полонский В.Б., Якир М.С. Алгебраический тренажер.-К.: А.С.К., 1997.

7. ЗвавичЛ.И., Шляпочник Л.Я., Чинкина Алгебра и начала анализа. 8-11 кл.: Пособие для школ и классов с углубленным изучением математики (дидактические материалы).-М.: Дрофа, 2002.

8. Саакян С.М., Гольдман А.М., Денисов Д.В. Задачи по алгебре и началам анализа (пособие для учащихся 10-11 классов общеобразов. учреждений).-М.: Просвещение, 2003.

9. Карп А.П. Сборник задач по алгебре и началам анализа : учеб. пособие для 10-11 кл. с углубл. изуч. математики.-М.: Просвещение, 2006.

10. Глейзер Г.И. История математики в школе. 9-10 классы (пособие для учителей).-М.: Просвещение, 1983.

Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

1. Интернет-портал «mathematics.ru» (Источник). 

Сделай дома

№№ 22.1(б, в), 22.3, 22.5(а) (Алгебра и начала анализа, 10 класс (в двух частях). Задачник для общеобразовательных учреждений (профильный уровень) под ред. А. Г. Мордковича. –М.: Мнемозина, 2007.)