12. Преобразование выражения a · sin x + b · cos x к виду c · sin (x + t)

На уроке рассматривается преобразование линейной комбинации синуса и косинуса одного аргумента, т. е. выражение  к виду . На примере конкретной задачи излагается общая методика преобразования.

Если у вас возникнет сложность в понимании темы, рекомендуем посмотреть урок «Упрощение выражений».

На уроке рассматривается преобразование линейной комбинации синуса и косинуса одного аргумента, т. е. преобразование выражения  к виду . На примере конкретной задачи излагается общая методика преобразования.

1. Задача:

Доказать: .

Доказательство:

Обозначим левую часть через  Тогда

.

Методика:

1) В прямоугольном треугольнике с катетами  и  (см. рис. 1).

2) Гипотенуза  в нашем случае .

3) Все выражение умножить и разделить на значение

Очевидно, аргумент  в нашей задаче , поскольку

, .

Можно в качестве аргумента (угла)  взять другой острый угол в прямоугольном треугольнике. Для предыдущей задачи это угол .

2. Доказать: .

Доказательство:

,

.

Объединяя обе предыдущие задачи, получаем ещё одну задачу.

3. Доказать: .

Доказательство:

Используя чётность функции косинус,  и формулу приведения , получаем: .

Итак:

.

Обобщая результаты предыдущих задач, получаем выкладки в общем виде.

4.   Доказать:

При

1)  , где , ;

2) , где , .

Доказательство:

1) , где , ;

Иллюстрация выбора аргумента (угла)  дана на рис. 2.

Поскольку , значит точка  лежит на единичной окружности .

Т. к.  и  положительные величины, то точка  находится в первой четверти (см. рис. 3). Тогда

.

2) , где , .

1. 

2.  , т. к. .

3. , т. к. .

На уроке изучался вопрос о преобразовании линейной комбинации синуса и косинуса одного аргумента, т. е. выражение к виду :

, где , ,

или , где ,

.

На следующем уроке будут решаться задач и уравнений.

Список рекомендованной литературы

1. Алгебра и начала анализа, 10 класс (в двух частях). Учебник для общеобразовательных учреждений (профильный уровень) под ред. А. Г. Мордковича. – М.: Мнемозина, 2009.

2. Алгебра и начала анализа, 10 класс (в двух частях). Задачник  для общеобразовательных учреждений (профильный уровень) под ред. А. Г. Мордковича. – М.: Мнемозина, 2007.

3. Виленкин Н. Я., Ивашев-Мусатов О. С., Шварцбурд С. И. Алгебра и математический анализ для 10 класса (учебное пособие для учащихся школ и классов с углублённым изучением математики). - М.: Просвещение, 1996.

4. Галицкий М. Л., Мошкович М. М., Шварцбурд С. И. Углублённое изучение алгебры и математического анализа. - М.: Просвещение, 1997.

5. Сборник задач по математике для поступающих во ВТУЗы (под ред. М. И. Сканави). - М.: Высшая школа, 1992.

6. Мерзляк А. Г., Полонский В. Б., Якир М. С. Алгебраический тренажёр.-К.: А. С. К., 1997.

7. Звавич Л. И., Шляпочник Л. Я., Чинкина. Алгебра и начала анализа. 8-11 кл.: Пособие для школ и классов с углублённым изучением математики (дидактические материалы). - М.: Дрофа, 2002.

8. Саакян С. М., Гольдман А. М., Денисов Д. В. Задачи по алгебре и началам анализа (пособие для учащихся 10-11 классов общеобразов. учреждений). - М.: Просвещение, 2003.

9. Карп А. П. Сборник задач по алгебре и началам анализа : учеб. пособие для 10-11 кл. с углубл. изуч. математики. - М.: Просвещение, 2006.

10. Глейзер Г. И. История математики в школе. 9-10 классы (пособие для учителей). - М.: Просвещение, 1983.

Полезные ссылки

1. Интернет-портал «mathematics.ru»‎.

Проверь себя

1. № 27.51(а, б), 27.52(а), 27.65(а) (Алгебра и начала анализа, 10 класс (в двух частях). Задачник для общеобразовательных учреждений (профильный уровень) под ред. А. Г. Мордковича. – М.: Мнемозина, 2007.)