01. Числовые последовательности и их свойства. Предел числовой последовательности
02. Предел числовой последовательности. Сумма бесконечной геометрической прогрессии
03. Предел функции
04. Определение производной, её физический и геометрический смысл. Алгоритм нахождения производной
05. Примеры вычисления основных производных. Типовые задачи
06. Таблица производных. Типовые задачи
07. Правило дифференцирования. Типовые задачи
08. Дифференцирование функции y = f(kx + m)
09. Уравнение касательной к графику функции
10. Применение производной для исследования функций на монотонность и экстремумы
11. Применение производной для нахождения наибольшего и наименьшего значений непрерывной функции на промежутке
12. Исследование функции y = 3x⁵ − 5x³ + 2 с помощью производной
13. Исследование функции y = 3x⁵ − 5x³ + 2 без производной
14. Исследование функции, её график, сопутствующие задачи на примере функции f(x) = 3x⁵ − 5x³ + 2. Задача с параметром
15. Методика исследования функций на примере f(x) = x√(2-x)
16. Построение графика функции f(x) = x³ − 3x + 4 с помощью производной, сопутствующие задачи
17. Исследование функции y = (x³ − 4) : (x − 1)³ и сопутствующие задачи
18. Дифференцирование сложных функций. Задача из практики подготовки к ЕГЭ по математике
19. Планиметрические задачи на экстремум
20. Производная в задачах на прямоугольный параллелепипед
21. Приближённые вычисления
22. Задачи на расстояние от точки до кривой
23. Типовые задачи на производную с иррациональными функциями
24. Типовые задачи на производную с тригонометрическими функциями. Функция f(x) = cos²x − cos x
25. Типовые задачи на касательную
21. Приближённые вычисления
Видео доступно по абонементу
Данный урок поможет получить представление о теме «Приближённые вычисления». Вначале обсуждается вопрос о возможности применения приближённых вычислений. Рассматривается общий приём получения с хорошей точностью приближённого значения для функций, имеющих довольно сложный график, не очень удобный для вычисления.
Если у вас возникнет сложность в понимании тему, рекомендуем посмотреть урок «Точность и округление»
Приближённые вычисления можно рассматривать как одно из применений производной, а конкретно касательной данной функции. С приближениями мы встречаемся довольно часто, например, если нужно какие-то значения числа , то пишем , и т. д.
Рассмотрим общий приём получения с хорошей точностью приближённых значений. Предположим, что задана функция и эта функция имеет сложный график. Достаточно задать точку , для того чтобы получить касательную. Проведём в точке касательную. Запишем уравнение этой касательной . В окрестности точки график касательной и график данной функции почти не отличаются (см. рис. 1). Предположим, что приращение аргумента невелико. Имеем – точное значение функции в точке Приближённое значение даёт касательная, и если невелико, то , то есть значение функции в новой точке мало отличается от значения линейной функции (касательной).
Итак, идея простая и ясная: в хорошей точки (хорошая означает то, что в этой точке легко вычислить значение функции) легко вычислить значение . Если в точке легко вычислить значение , то в новой точке заменим значение на значение то есть кривую заменим касательной. Получим примерный результат. Этот результат будет тем точнее, чем меньше будет приращение .
Например, вычислить приближённо величину (решение ниже).
Вычислить приближённо .
Сделаем иллюстрацию (см. рис. 2).
, а .
.
Заменим значение функции в точке значением касательной .
;
. Итак, .
Таким образом, приближённые вычисления основываются на уравнении касательной. Методику применения мы рассмотрели на конкретном примере.
Рассмотрим формулы для приближённых вычислений для функции в окрестности точки , то есть в точке (см. рис. 3).
Значение функции в точке равно . Доказать, что .
Доказательство.
Заменим функцию касательной.
;
;
. Если заменим значение функции значением касательной, то получим .
Получили формулу, которая позволяет примерно, с достаточной степенью точности, вычислять нужные значения.
Применим эту формулу для решения примера, который был дан вначале: найти приближённое значение .
Вычислим приращение (см. рис. 4). Отсюда, .
Если особая точность не нужна, то такое примерное вычисление довольно эффективно.
Итак, мы кратко рассмотрели теорию приближённых вычислений. Суть заключается в том, что сложную кривую в окрестности точки заменяем прямой (касательной к графику функции). И если приращения аргумента не велики, то для каждой функции можно вывести соответствующую формулу, по которой осуществляются приближённые вычисления.
Список рекомендованной литературы
Алгебра и начала анализа, 10 класс (в двух частях). Учебник для общеобразовательных учреждений (профильный уровень) под ред. А. Г. Мордковича. –М.: Мнемозина, 2009.
Алгебра и начала анализа, 10 класс (в двух частях). Задачник для общеобразовательных учреждений (профильный уровень) под ред. А. Г. Мордковича. –М.: Мнемозина, 2007.
Виленкин Н. Я., Ивашев-Мусатов О. С., Шварцбурд С. И. Алгебра и математический анализ для 10 класса (учебное пособие для учащихся школ и классов с углублённым изучением математики).-М.: Просвещение, 1996.
Галицкий М. Л., Мошкович М. М., Шварцбурд С. И. Углублённое изучение алгебры и математического анализа.-М.: Просвещение, 1997.
Сборник задач по математике для поступающих во ВТУЗы (под ред. М. И. Сканави).-М.: Высшая школа, 1992.
Мерзляк А. Г., Полонский В. Б., Якир М. С. Алгебраический тренажёр.-К.: А. С. К., 1997.
Звавич Л. И., Шляпочник Л. Я., Чинкина. Алгебра и начала анализа. 8-11 кл.: Пособие для школ и классов с углублённым изучением математики (дидактические материалы).-М.: Дрофа, 2002.
Саакян С. М., Гольдман А. М., Денисов Д. В. Задачи по алгебре и началам анализа (пособие для учащихся 10-11 классов общеобразов. учреждений).-М.: Просвещение, 2003.
Карп А. П. Сборник задач по алгебре и началам анализа : учеб. пособие для 10-11 кл. с углубл. изуч. математики.-М.: Просвещение, 2006.
Глейзер Г. И. История математики в школе. 9-10 классы (пособие для учителей).-М.: Просвещение, 1983.
Полезные ссылки
Проверь себя
№ 639 – 642 (Саакян С. М., Гольдман А. М., Денисов Д. В. Задачи по алгебре и началам анализа (пособие для учащихся 10-11 классов общеобразов. учреждений).-М.: Просвещение, 2003.)