11. Применение производной для нахождения наибольшего и наименьшего значений непрерывной функции на промежутке

Введение. Постановка задачи

На этом занятии рассмотрим более простую задачу, а именно, будет задан промежуток, будет задана непрерывная функция на этом промежутке. Надо узнать наибольшее и наименьшее значение заданной функции на заданном промежутке.

Нахождение наибольшего и наименьшего значений функции без производной

№ 32.1 (б). Дано: ,. Нарисуем график функции (см. рис.1).

Рис. 1..

Известно, что эта функция возрастает на промежутке, значит, она возрастает и на отрезке. А значит, если найти значение функции в точкахи, то будут известны пределы изменения данной функции, ее самое большое и самое маленькое значение.

Когда аргумент возрастает отдо 8, функция возрастает отдо.

Ответ:

; .

Нахождение наибольшего и наименьшего значений тригонометрической функции

№ 32.2 (а) Дано:, 

Найти наибольшее и наименьшее значения функции на заданном промежутке.

Построим график этой функции (см. рис.2).

Если аргумент меняется на промежутке, то функция возрастает от -2 до 2. Если аргумент возрастает от, то функция убывает от 2 до 0.

Рис. 2..

Найдем производную.

,. Если, тои это значение принадлежит заданному отрезку. Если, то. Легко проверить, еслипринимает другие значения, соответствующие стационарные точки выходят за пределы заданного отрезка. Сравним значения функции на концах отрезка и в отобранных точках, в которых производная равна нулю. Найдем;;.

Ответ:;.

Итак, ответ получен. Производную в данном случае можно использовать, можно не использовать, применить свойства функции, которые были изучены ранее. Так бывает не всегда, иногда применение производной – это единственный метод, который позволяет решать подобные задачи.

Нахождение наибольшего и наименьшего значений функции с помощью производной

№ 32.10 (а)

Дано:,. Найти наибольшее и наименьшее значение функции на данном отрезке.

Если в предыдущем случае можно было обойтись без производной – мы знали, как себя ведет функция, то в данном случае функция довольно сложная. Поэтому, ту методику, которую мы упомянули на предыдущей задаче, применим в полном объеме.

1. Найдем производную. Найдем критические точки, отсюда,- критические точки. Из них выбираем те, которые принадлежат данному отрезку:. Сравним значение функции в точках,,.

Для этого найдем;

;

.

Проиллюстрируем результат на рисунке (см. рис.3).

Рис. 3.

Видим, что если аргумент меняется от 0 до 2, функция изменяется в пределах от -3 до 4. Функция меняется не монотонно: она либо возрастает, либо убывает.

Ответ:;.

Алгоритм решения задачи на нахождение наибольшего и наименьшего значений функции

Итак, на трех примерах была продемонстрирована общая методика нахождения наибольшего и наименьшего значения функции на промежутке, в данном случае – на отрезке.

Алгоритм решения задачи на нахождение наибольшего и наименьшего значений функции:

1. Найти производную функции.

2. Найти критические точки функции и отобрать те точки, которые находятся на заданном отрезке.

3. Найти значения функции на концах отрезка и в отобранных точках.

4. Сравнить эти значения, и выбрать наибольшее и наименьшее.

Решение задачи

Рассмотрим еще один пример.

Найти наибольшее и наименьшее значение функции,.

Ранее был рассмотрен график этой функции (см. рис.4).

Рис. 4..

На промежуткеобласть значения этой функции. Точка- точка максимума. При- функция возрастает, при– функция убывает. Из чертежа видно, что,- не существует.

Итог урока

Итак, на уроке рассмотрели задачу о наибольшем и наименьшем значении функции, когда заданным промежутком является отрезок; сформулировали алгоритм решения подобных задач.

Список рекомендованной литературы

1. Алгебра и начала анализа, 10 класс (в двух частях). Учебник для общеобразовательных учреждений (профильный уровень) под ред. А. Г. Мордковича. –М.: Мнемозина, 2009.

2. Алгебра и начала анализа, 10 класс (в двух частях). Задачник  для общеобразовательных учреждений (профильный уровень) под ред. А. Г. Мордковича. –М.: Мнемозина, 2007.

3. Виленкин Н.Я., Ивашев-Мусатов О.С., Шварцбурд С.И. Алгебра и математический анализ для 10 класса (учебное пособие для учащихся школ и классов с углубленным изучением математики).-М.: Просвещение, 1996.

4. Галицкий М.Л., Мошкович М.М., Шварцбурд С.И. Углубленное изучение алгебры и математического анализа.-М.: Просвещение, 1997.

5. Сборник задач по математике для поступающих во ВТУЗы (под ред. М.И.Сканави).-М.:Высшая школа, 1992.

6. Мерзляк А.Г., Полонский В.Б., Якир М.С. Алгебраический тренажер.-К.: А.С.К., 1997.

7. ЗвавичЛ.И., Шляпочник Л.Я., Чинкина Алгебра и начала анализа. 8-11 кл.: Пособие для школ и классов с углубленным изучением математики (дидактические материалы).-М.: Дрофа, 2002.

8. Саакян С.М., Гольдман А.М., Денисов Д.В. Задачи по алгебре и началам анализа (пособие для учащихся 10-11 классов общеобразов. учреждений).-М.: Просвещение, 2003.

9. Карп А.П. Сборник задач по алгебре и началам анализа : учеб. пособие для 10-11 кл. с углубл. изуч. математики.-М.: Просвещение, 2006.

10. Глейзер Г.И. История математики в школе. 9-10 классы (пособие для учителей).-М.: Просвещение, 1983.

Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

1. Интернет-портал «mathematics.ru» (Источник). 

Сделай дома

№ 46.16, 46.17 (в) (Алгебра и начала анализа, 10 класс (в двух частях). Задачник  для общеобразовательных учреждений (профильный уровень) под ред. А. Г. Мордковича. –М.: Мнемозина, 2007.)