01. Числовые последовательности и их свойства. Предел числовой последовательности
17 мин
02. Предел числовой последовательности. Сумма бесконечной геометрической прогрессии
30 мин
03. Предел функции
19 мин
04. Определение производной, её физический и геометрический смысл. Алгоритм нахождения производной
22 мин
05. Примеры вычисления основных производных. Типовые задачи
19 мин
06. Таблица производных. Типовые задачи
28 мин
07. Правило дифференцирования. Типовые задачи
39 мин
08. Дифференцирование функции y = f(kx + m)
17 мин
09. Уравнение касательной к графику функции
21 мин
10. Применение производной для исследования функций на монотонность и экстремумы
25 мин
11. Применение производной для нахождения наибольшего и наименьшего значений непрерывной функции на промежутке
26 мин
12. Исследование функции y = 3x⁵ − 5x³ + 2 с помощью производной
16 мин
13. Исследование функции y = 3x⁵ − 5x³ + 2 без производной
19 мин
14. Исследование функции, её график, сопутствующие задачи на примере функции f(x) = 3x⁵ − 5x³ + 2. Задача с параметром
13 мин
15. Методика исследования функций на примере f(x) = x√(2-x)
11 мин
16. Построение графика функции f(x) = x³ − 3x + 4 с помощью производной, сопутствующие задачи
24 мин
17. Исследование функции y = (x³ − 4) : (x − 1)³ и сопутствующие задачи
23 мин
18. Дифференцирование сложных функций. Задача из практики подготовки к ЕГЭ по математике
35 мин
19. Планиметрические задачи на экстремум
28 мин
20. Производная в задачах на прямоугольный параллелепипед
23 мин
21. Приближённые вычисления
16 мин
22. Задачи на расстояние от точки до кривой
22 мин
23. Типовые задачи на производную с иррациональными функциями
24 мин
24. Типовые задачи на производную с тригонометрическими функциями. Функция f(x) = cos²x − cos x
16 мин
25. Типовые задачи на касательную
16 мин
05. Примеры вычисления основных производных. Типовые задачи
Видео доступно по абонементу
Определение производной функции
Производная функциив точке:
Геометрический смысл производной
Если задан график функции, то производная в точке– это тангенс угла наклона касательной к данной функции в точке c абсциссой(или угловой коэффициент касательной).
Физический смысл производной
Если в качестве функции мы берем перемещение, зависящее от, –, то, где– перемещение,– время, а– мгновенная скорость в данной точке.
И сегодня мы попробуем вычислить некоторые производные по определению.
Производная функции
Начнем с самого простого – с линейной функции.
Пусть, гдеи– некоторые числа, а– переменная.
Тогда:
Итак, выясняется, чтодля любого. Значит, можно утверждать, что.
О чем это говорит?
Во-первых, мы подтвердили несколько фактов про линейную функцию, которые нам, возможно, уже были известны.
1. Так, исходя из геометрического смысла производной, тангенс угла наклона прямой совпадает с ее угловым коэффициентом (он равен производной в соответствующей точке).
Кроме этого, мы видим, что раз производная постоянна, то угол наклона постоянен, это вполне соответствует нашим представлениям о прямой.
2. Если предположить, что материальная точка движется прямолинейно равномерно, то ее координата в данный момент времени описывается функцией:, где– начальная координата, а– скорость. Рассмотрим это утверждение.
Предположим, что есть некоторая материальная точка, которая двигается по закону. Найти его производную.
Решение
Для удобства предположим, что точка движется равномерно, то естьв каждой точке одинаково. Тогда с точки зрения физического смысла мы получим:.
Физический смысл производной: производная от координаты равна мгновенной скорости точки в данный момент времени.
Но для равномерного движения мгновенная скорость в любой момент времени одна и та же и равна скорости движения тела. Получаем, что должно выполняться равенство:.
Следствия производной линейной функции
Во-первых,. Это следует из наших выкладок просто в силу того, что мы подставили;.
Далее,. Итак, производная от константы равна нулю.
Производная функции
Дальше рассмотрим производную функции.
В силу того что– произвольна, имеем:
Где это может нам пригодиться? В дальнейшем с помощью производных мы будем исследовать свойства функций, говорить об их монотонности и т. д. Пока же мы можем говорить лишь о физическом и геометрическом смыслах. Разберем по примеру на каждый из них.
Пример 1
Тело движется по закону (– в секундах,– в метрах). Какой будет скорость тела через 3 секунды после начала движения? Через какое время после начала движения скорость тела будет равна?
Дано:,.
Найти: 1., 2.
Прежде всего вспомним, что.
Отсюда мы можем вывести, что скорость через три секунды, то есть при, будет равна.
Аскорость будет равна через 5 секунд ().
Ответ:,.
В качестве небольшого упражнения попробуйте сами вывести производную функции.
А сделав это, вы сможете решать физические задачи на равноускоренное движение.
, где– ускорение.
Пример 2
В какой точке графикаего касательная параллельна прямой?
Дано:,.
Решение
Раз прямые параллельны, то их угловые коэффициенты равны, то есть угловой коэффициент касательной (он же тангенс угла наклона) должен быть равен 1. Но мы помним, что тангенс угла наклона касательной как раз равен производной в точке касания (в абсциссе точки касания) (см. рис. 1).
Приравниваяимеем, значит, речь идет о касательной в точке.
Ответ: в точке.
Пример 3
Теперь рассмотрим кубическую функцию.
В силу того, чтопроизволен, имеем:.
Итоги урока
На этом уроке мы с вами применяли определение производной на конкретных примерах. Мы вычислили производную линейной функции, производнуюи, а также пока без доказательства познакомились с производной от. Кроме этого, мы разобрали несколько примеров, увидели, где применяется производная.
Доказательство
.
По формуле бинома Ньютона:
Это доказательство верно только для натуральных, так как бином Ньютона работает только для натуральных.
Список литературы
Алгебра и начала анализа, 10 класс (в двух частях). Учебник для общеобразовательных учреждений (профильный уровень) / под ред. А.Г. Мордковича. – М.: Мнемозина, 2009.
Алгебра и начала анализа, 10 класс (в двух частях). Задачник для общеобразовательных учреждений (профильный уровень) / под ред. А.Г. Мордковича. – М.: Мнемозина, 2007.
Виленкин Н.Я., Ивашев-Мусатов О.С., Шварцбурд С.И. Алгебра и математический анализ для 10 класса (учебное пособие для учащихся школ и классов с углубленным изучением математики) – М.: Просвещение, 1996.
А.Н. Колмогоров, А.М. Абрамов, Ю.П. Дудницын и др. Алгебра и начала анализа. Учеб. для 10-11 кл. – М.: Просвещение, 1990.
Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет
Интернет-сайт «kontromat.ru» (Источник).
Видеохостинг YouTube (Источник).
Интернет-сайт «cleverstudents.ru» (Источник).
Домашнее задание
Вычислить производную функции.
Вычислить производную функциив точке.
Найти производную функции.