01. Числовые последовательности и их свойства. Предел числовой последовательности
17 мин
02. Предел числовой последовательности. Сумма бесконечной геометрической прогрессии
30 мин
03. Предел функции
19 мин
04. Определение производной, её физический и геометрический смысл. Алгоритм нахождения производной
22 мин
05. Примеры вычисления основных производных. Типовые задачи
19 мин
06. Таблица производных. Типовые задачи
28 мин
07. Правило дифференцирования. Типовые задачи
39 мин
08. Дифференцирование функции y = f(kx + m)
17 мин
09. Уравнение касательной к графику функции
21 мин
10. Применение производной для исследования функций на монотонность и экстремумы
25 мин
11. Применение производной для нахождения наибольшего и наименьшего значений непрерывной функции на промежутке
26 мин
12. Исследование функции y = 3x⁵ − 5x³ + 2 с помощью производной
16 мин
13. Исследование функции y = 3x⁵ − 5x³ + 2 без производной
19 мин
14. Исследование функции, её график, сопутствующие задачи на примере функции f(x) = 3x⁵ − 5x³ + 2. Задача с параметром
13 мин
15. Методика исследования функций на примере f(x) = x√(2-x)
11 мин
16. Построение графика функции f(x) = x³ − 3x + 4 с помощью производной, сопутствующие задачи
24 мин
17. Исследование функции y = (x³ − 4) : (x − 1)³ и сопутствующие задачи
23 мин
18. Дифференцирование сложных функций. Задача из практики подготовки к ЕГЭ по математике
35 мин
19. Планиметрические задачи на экстремум
28 мин
20. Производная в задачах на прямоугольный параллелепипед
23 мин
21. Приближённые вычисления
16 мин
22. Задачи на расстояние от точки до кривой
22 мин
23. Типовые задачи на производную с иррациональными функциями
24 мин
24. Типовые задачи на производную с тригонометрическими функциями. Функция f(x) = cos²x − cos x
16 мин
25. Типовые задачи на касательную
16 мин
13. Исследование функции y = 3x⁵ − 5x³ + 2 без производной
Видео доступно по абонементу
Центр симметрии кривой
Криваяимеет центр симметрии – точкус координатами.
Доказательство
Рассмотрим функцию. Эта функция нечетная, так как выполнены два условия:
1. Область определения симметрична относительно 0;
2., для всех
График нечетной функции симметричен относительно точки с координатами. График функцииполучается из графика функциипутем сдвига последнего на 2 единицы вверх по оси. Следовательно, график функциибудет симметричен относительно точки(см. Рис. 1).
и
Таким образом, мы можем исследовать функциюпри, а далее использовать симметрию относительно точкис координатами.
Определение корня функции, преобразование функции
Прифункцияимеет очевидный корень – это:
Следовательно, исследуемую функцию можно представить в следующем виде:, где– это многочлен четвертой степени.
Доказательство возрастания функции
Докажем, что исследуемая функция монотонно возрастает на множестве.
при
Доказательство
Рассмотрим каждый сомножитель:
Функциявозрастает на промежутке(см. Рис. 2). Функциявозрастает на промежутке(см. Рис. 2). Функцииивозрастающие, поэтому функциятакже возрастающая. Функцияявляется возрастающей.
Все члены исследуемой функции на промежуткеявляются положительными.
Мы выяснили, что все члены, сомножители возрастают, следовательно, исследуемая функция монотонно возрастает на множестве.
Доказательство убывания функции
Докажем, что функцияубывает на промежутке. Для этого сначала рассмотрим промежуток, потом промежуток.
Преобразуем выражение:.
Первое слагаемое в правой части убывает при всех х, а второе есть произведение двух сомножителей:и. Из этих сомножителей второй отрицателен и убывает при всех, а первый положителен и возрастает на промежутке, что легко следует из соответствующих свойств параболы. Отсюда вытекает, что второе слагаемое в правой части убывает на промежутке.
Значит, на этом промежутке убывает и сама функция(сумма убывающих функций – убывающая).
Приперепишем функцию в виде:
,
где
Убывание функции ƒ на рассматриваемом промежутке будет доказано, если доказать, что на промежуткеубывает каждая из функций,.
Воспользуемся методом выделения полного квадрата и перепишемв виде:
Первая часть – произведение двух сомножителей, из которых первыйвозрастает и отрицателен при, а второй – при. Поскольку, отсюда получим:монотонно убывает на требуемом промежутке.
Функциюперепишем в виде:
Она рассматривается аналогично: справа стоит произведение двух сомножителей, из которых первыйвозрастает и отрицателен при, а второй при. Поскольку, отсюда получим, что имонотонно убывает на требуемом промежутке.
Таким образом, мы доказали, что исходная функция убывает на всем промежутке.
Построение графика функции
Точка– центр симметрии, поэтому строим график данной функции сначала для. При,.
На промежуткефункция убывает. После, то есть на промежутке, функция возрастает (если x стремится к плюс бесконечности, то y тоже стремится к плюс бесконечности) (см. Рис. 3).
при
Далее отобразим полученный график относительно центра симметрии, то есть точки(см. Рис. 4).
Результаты исследования функции
1. Функция возрастает при а также на симметричном множестве.
2. Функция убывает при.
3.– точка максимума.
4.– точка минимума.
Список литературы
Мордкович А.Г., Семенов П.В. Алгебра и начала математического анализа, 10 класс. В 2 ч. Ч. 1. Учебник для учащихся общеобразовательных учреждений. – М.: Мнемозина, 2009.
Мордкович А.Г. Алгебра и начала математического анализа, 10 класс. В 2 ч. Ч. 2. Задачник для учащихся общеобразовательных учреждений. – М.: Мнемозина, 2009.
Виленкин Н.Я., Ивашев-Мусатов О.С., Шварцбурд С.И. Алгебра и математический анализ для 10 класса (учебное пособие для учащихся школ и классов с углубленным изучением математики). – М.: Просвещение, 1996.
Колмогоров А.Н., Абрамов А.М., Дудницын Ю.П. Алгебра и начала математического анализа: Учебник для 10-11 кл. сред. шк. – М.: Просвещение, 1990.
Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы Интернет
Видеохостинг «youtube.com» (Источник).
Интернет-портал «matematikalegko.ru» (Источник).
Интернет-портал «matematiku5.ru» (Источник).
Домашнее задание
Задание 76, 79, 94 (г) (стр. 274–278) – Колмогоров А.Н., Абрамов А.М., Дудницын Ю.П. Алгебра и начала математического анализа.
Найдите точку минимума функции .