20. Производная в задачах на прямоугольный параллелепипед

На уроке по теме «Производная в задачах на прямоугольный параллелепипед» рассматриваются две конкретные задачи на прямоугольный параллелепипед, как найти сторону прямоугольного параллелепипеда. Вначале повторяются свойства фигуры и формулы прямоугольного параллелепипеда для вычисления объёма. Затем составляется функция для решения задачи и с помощью производной проводится исследование.

Рассматриваются всевозможные прямоугольные параллелепипеды, основания которых квадраты, а каждая из боковых граней имеет периметр Найти среди них параллелепипед с наибольшим объёмом и вычислить его объём.

Решение.

Напомним, прямоугольным называется параллелепипед, у которого в основании лежит прямоугольник, и боковые ребра перпендикулярны к плоскости основания.

Нам важны три измерения этого параллелепипеда. Так как в основании лежит квадрат, то его стороны обозначим через третье измерение параллелепипеда обозначим через  (см. рис. 1).

Объём любого прямоугольного параллелепипеда – это произведение трёх его измерений. Надо найти такой параллелепипед, чтобы его объём был максимальным (смотрим прямоугольный параллелепипед формулы), то есть . Между  и  есть связь. Сказано, что  или . Заметим, что .

Мы бы могли решить эту задачу, если бы функция  зависела от одной переменной, а она зависит от двух переменных  и Одну из них можно выразить через связь . Отсюда . Подставим полученное выражение в функцию: . Теперь задачу можно свести к типовой задаче: найти  на отрезке .

1) Найдём производную

 – критические точки.

Достаточно сравнить значение функции на концах отрезка и в тех критических точках, которые попадают на данный отрезок. Продемонстрируем, что точка  – точка максимума. Для этого проанализируем знак производной (см. рис. 2).

Найдём значение функции в точках:

Если , тогда . Найдём объём .

Итак, мы искали такой прямоугольный параллелепипед, в основании которого лежит квадрат, и периметр боковой грани равен Нужно было среди всех таких параллелепипедов найти тот параллелепипед, который имеет наибольший объём. Мы свели задачу к алгебраической, то есть к задаче по нахождению наибольшего значения функции  на заданном отрезке. Получили ответ: параллелепипед имеет измерения . А наибольший объём .

Рассматриваются всевозможные прямоугольные параллелепипеды, объём каждого из которых равен , а основаниями являются квадраты. Найти среди них параллелепипед с наименьшим периметром боковой грани и вычислить этот периметр.

Решение.

Так как в основании параллелепипеда – квадрат, то одна его сторона равна  и вторая – боковое ребро –  (см. рис. 3). Известно, что объём этих параллелепипедов - . Надо найти параллелепипед с наименьшим периметром боковой грани. Периметр боковой грани равен . Этот периметр должен быть наименьшим: . Итак, нужно минимизировать данную функцию, которая зависит от двух переменных  и Эти переменные связаны геометрической зависимостью . Выразим , тогда .

Найдём производную .

, отсюда  и  – критические точки.

Найдём интервалы знакопостоянства производной и посмотрим является ли точка  точкой минимума (см. рис. 4).

Таким образом, точка  является точкой минимума. Напомним, мы должны найти такую точку, при которой периметр будет наименьшим. Выяснили, что на всём промежутке  значение функции в точке  является наименьшим, так как на промежутке  функция убывает, а на промежутке  – возрастает. Точка экстремума на промежутке  – единственная.

Найдём . И, наконец, найдём см.

Итак, требовалось найти такой параллелепипед, у которого наименьший периметр боковой грани и вычислить этот периметр. Параллелепипед нашли, он имеет измерения . Наименьшее значение периметра боковой грани равно

Итак, мы рассмотрели стереометрические задачи на экстремум, которые решаются с помощью производной. Решили две взаимно обратные задачи на прямоугольный параллелепипед с использованием формул и боковых сторон параллелепипеда. В первой задаче нужно было найти максимальное значение объёма, а во второй – наименьшее значение периметра в прямоугольном параллелепипеде. Эти задачи, как и в планиметрии, решаются следующим образом: составляется нужная функция, она оказывается функцией двух переменных, выписываются геометрические связи, они позволяют выразить одну переменную через другую и получить функцию только от одной переменной. Дальше применяя производную, можно успешно решить задачу.

Список рекомендованной литературы

1. Алгебра и начала анализа, 10 класс (в двух частях). Учебник для общеобразовательных учреждений (профильный уровень) под ред. А. Г. Мордковича. –М.: Мнемозина, 2009.

2. Алгебра и начала анализа, 10 класс (в двух частях). Задачник  для общеобразовательных учреждений (профильный уровень) под ред. А. Г. Мордковича. –М.: Мнемозина, 2007.

3. Виленкин Н. Я., Ивашев-Мусатов О. С., Шварцбурд С. И. Алгебра и математический анализ для 10 класса (учебное пособие для учащихся школ и классов с углубленным изучением математики).-М.: Просвещение, 1996.

4. Галицкий М. Л., Мошкович М. М., Шварцбурд С. И. Углублённое изучение алгебры и математического анализа.-М.: Просвещение, 1997.

5. Сборник задач по математике для поступающих во ВТУЗы (под ред. М. И. Сканави).-М.: Высшая школа, 1992.

6. Мерзляк А. Г., Полонский В. Б., Якир М. С. Алгебраический тренажер.-К.: А. С. К., 1997.

7. Звавич Л. И., Шляпочник Л. Я., Чинкина. Алгебра и начала анализа. 8-11 кл.: Пособие для школ и классов с углублённым изучением математики (дидактические материалы).-М.: Дрофа, 2002.

8. Саакян С. М., Гольдман А. М., Денисов Д. В. Задачи по алгебре и началам анализа (пособие для учащихся 10-11 классов общеобразов. учреждений).-М.: Просвещение, 2003.

9. Карп А. П. Сборник задач по алгебре и началам анализа : учеб. пособие для 10-11 кл. с углубл. изуч. математики.-М.: Просвещение, 2006.

10. Глейзер Г. И. История математики в школе. 9-10 классы (пособие для учителей).-М.: Просвещение, 1983.

Полезные ссылки

1. Интернет-портал «mathematics.ru». 

Проверь себя

1. № 46.59, 46.50 (Алгебра и начала анализа, 10 класс (в двух частях). Задачник  для общеобразовательных учреждений (профильный уровень) под ред. А. Г. Мордковича. –М.: Мнемозина, 2007.)