13. Решение задач и уравнений

Введение. Постановка задач на вычисление значений тригонометрических функций заданного аргумента, половинных и удвоенных аргументов

На уроке рассматривается обобщенная задача по вычислению значений тригонометрических функций заданного аргумента, половинного аргумента и удвоенного аргумента. В процессе ее решения выводятся формулы универсальной тригонометрической подстановки и рассматриваются особенности их области допустимых значений.

Дано:

Найти:

1) 

2) 

3) 

Угол  задан однозначно, что иллюстрирует рис.1.

Вычисление значений тригонометрических функций углов

1) Решение: пусть , то .

а) 

учитывая, что по условию угол находится в третьей четверти.

б) 

Выбираем знак минус, поскольку угол по условию находится в третьей четверти.

Ответ:

Проверка:

Нахождение значений тригонометрических функций половинного аргумента

2) Решение: все тригонометрические функции половинного аргумента вычисляются через значение косинуса полного аргумента по формулам понижения степени:

,

,

,

.

Вывод формул понижения степени смотри в уроке 6 пункты 2 и 3.

Решая задачу, пользуемся результатом предыдущей задачи:

а)

Выполняя выбор знака, учтем

т.е. половинный аргумент находится во второй четверти (см. рис.2).

б)

Зная, что  во второй четверти, получим:

Ответ:

Вывод формул универсальной тригонометрической подстановки

Вывод:

(1)       

Особенность формулы в том, что ее ОДЗ:

(2) 

Особенность:

(3) 

Особенность:

(4) Аналогично,

Особенность:

Преимущества и недостатки формул универсальной тригонометрической подстановки

Недостатки:

1) повышается степень,

2) сужается ОДЗ.

Преимущества:

1) универсальность,

2) знак определяется автоматически.

Нахождение значений тригонометрических функций двойного аргумента

3) Решение: значения всех тригонометрических функций двойного аргумента вычисляются через значение тангенса заданного аргумента по формулам универсальной тригонометрической подстановки.

Ответ:

Задача на применение формул универсальной тригонометрической подстановки

Дано:

Найти:

Решение:

1)    

2)      

Ответ:

Итог урока

На уроке рассматривалась задача по вычислению значений тригонометрических функций заданного аргумента, половинного аргумента и удвоенного аргумента.

На следующем уроке будут рассмотрены  решение задач и уравнений.

Список рекомендованной литературы

1. Алгебра и начала анализа, 10 класс (в двух частях). Учебник для общеобразовательных учреждений (профильный уровень) под ред. А. Г. Мордковича. –М.: Мнемозина, 2009.

2. Алгебра и начала анализа, 10 класс (в двух частях). Задачник  для общеобразовательных учреждений (профильный уровень) под ред. А. Г. Мордковича. –М.: Мнемозина, 2007.

3. Виленкин Н.Я., Ивашев-Мусатов О.С., Шварцбурд С.И. Алгебра и математический анализ для 10 класса (учебное пособие для учащихся школ и классов с углубленным изучением математики).-М.: Просвещение, 1996.

4. Галицкий М.Л., Мошкович М.М., Шварцбурд С.И. Углубленное изучение алгебры и математического анализа.-М.: Просвещение, 1997.

5. Сборник задач по математике для поступающих во ВТУЗы (под ред. М.И.Сканави).-М.:Высшая школа, 1992.

6. Мерзляк А.Г., Полонский В.Б., Якир М.С. Алгебраический тренажер.-К.: А.С.К., 1997.

7. ЗвавичЛ.И., Шляпочник Л.Я., Чинкина Алгебра и начала анализа. 8-11 кл.: Пособие для школ и классов с углубленным изучением математики (дидактические материалы).-М.: Дрофа, 2002.

8. Саакян С.М., Гольдман А.М., Денисов Д.В. Задачи по алгебре и началам анализа (пособие для учащихся 10-11 классов общеобразов. учреждений).-М.: Просвещение, 2003.

9. Карп А.П. Сборник задач по алгебре и началам анализа : учеб. пособие для 10-11 кл. с углубл. изуч. математики.-М.: Просвещение, 2006.

10. Глейзер Г.И. История математики в школе. 9-10 классы (пособие для учителей).-М.: Просвещение, 1983.

Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

1. Интернет-портал «mathematics.ru» (Источник). 

Сделай дома

№№ 27.29, 27.30(б) (Алгебра и начала анализа, 10 класс (в двух частях). Задачник для общеобразовательных учреждений (профильный уровень) под ред. А. Г. Мордковича. –М.: Мнемозина, 2007.)