15. Решение задач и уравнений (продолжение 2)

Введение. Решение уравнения вида a sin x + b cos x = c методом введения вспомогательного угла

На уроке рассматриваются решения уравнения вида методы решения уравнений: введение вспомогательного угла, сведение к однородному уравнению и с помощью универсальной тригонометрической подстановки.

1. Решить уравнение:

Решение:

Воспользуемся преобразованием линейной комбинации синуса и косинуса одного аргумента

 к специальному виду (см. урок 12 пункт 1).

Ответ:

Решение исходного уравнения методом сведения к однородному уравнению

Метод заключается в применении формул двойного аргумента:

Тогда исходное уравнение

 примет вид:

Получается однородное тригонометрическое уравнение 2-й степени, решение которого рассматривалось в уроке 14.

Пример решения уравнения методом сведения к однородному уравнению

2. Решить уравнение:

Решение:

1)

2) Если то

Ответ:

Пример решения уравнения методом введения вспомогательного угла

3. Решить уравнение:

Решение:

(Значения гипотенузы и угла вычислили из прямоугольного треугольника – см. рис.1.)

Ответ:

Решение исходного уравнения с помощью универсальной тригонометрической подстановки

Пользуясь формулами универсальной тригонометрической подстановки:

с ОДЗ, при решении уравнения рассматриваются два случая.

4. Решить уравнение:

Решение:

1-й случай.

Подставляя полученный результат в данное уравнение, получаем:

Потому полученная серия решений является решением данного уравнения.

2-й случай.

что дает возможность использовать универсальную тригонометрическую подстановку:

Пусть тогда уравнение принимает вид:

Тогда

Ответ:

Решение задачи с параметром

5. Задание: найти все значения параметра, при которых уравнение

имеет хотя бы одно решение.

Решение:

(Значения угла и гипотенузы вычислили из прямоугольного треугольника – см. рис.1)

Итак,

Ответ:

Решая задачу, была найдена область значений функции

Итог урока

На уроке рассматривались три способа решения уравнения вида

На следующем уроке будет рассматриваться производная функции.

Список рекомендованной литературы

1. Алгебра и начала анализа, 10 класс (в двух частях). Учебник для общеобразовательных учреждений (профильный уровень) под ред. А. Г. Мордковича. –М.: Мнемозина, 2009.

2. Алгебра и начала анализа, 10 класс (в двух частях). Задачник  для общеобразовательных учреждений (профильный уровень) под ред. А. Г. Мордковича. –М.: Мнемозина, 2007.

3. Виленкин Н.Я., Ивашев-Мусатов О.С., Шварцбурд С.И. Алгебра и математический анализ для 10 класса (учебное пособие для учащихся школ и классов с углубленным изучением математики).-М.: Просвещение, 1996.

4. Галицкий М.Л., Мошкович М.М., Шварцбурд С.И. Углубленное изучение алгебры и математического анализа.-М.: Просвещение, 1997.

5. Сборник задач по математике для поступающих во ВТУЗы (под ред. М.И.Сканави).-М.:Высшая школа, 1992.

6. Мерзляк А.Г., Полонский В.Б., Якир М.С. Алгебраический тренажер.-К.: А.С.К., 1997.

7. ЗвавичЛ.И., Шляпочник Л.Я., Чинкина Алгебра и начала анализа. 8-11 кл.: Пособие для школ и классов с углубленным изучением математики (дидактические материалы).-М.: Дрофа, 2002.

8. Саакян С.М., Гольдман А.М., Денисов Д.В. Задачи по алгебре и началам анализа (пособие для учащихся 10-11 классов общеобразов. учреждений).-М.: Просвещение, 2003.

9. Карп А.П. Сборник задач по алгебре и началам анализа : учеб. пособие для 10-11 кл. с углубл. изуч. математики.-М.: Просвещение, 2006.

10. Глейзер Г.И. История математики в школе. 9-10 классы (пособие для учителей).-М.: Просвещение, 1983.

Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

1. Интернет-портал «mathematics.ru» (Источник). 

Сделай дома

№№ 23.19(а), 23.18(а, б), 23.20(а) (Алгебра и начала анализа, 10 класс (в двух частях). Задачник для общеобразовательных учреждений (профильный уровень) под ред. А. Г. Мордковича. –М.: Мнемозина, 2007.)