14. Решение задач и уравнений (продолжение)

На уроке рассматривается методика решения однородных тригонометрических уравнений второй и первой степени, решаются уравнения с применением данной методики.

Если у вас возникнет сложность в понимании темы, рекомендуем посмотреть урок «Уравнения и неравенства».

На уроке рассматривается методика решения однородных тригонометрических уравнений второй и первой степени, решаются задачи и уравнения с применением данной методики.

Определение: уравнение вида называется однородным тригонометрическим уравнением второй степени относительно функций синус и косинус.

Пример: ,

.

Разделить обе части уравнения на старшую степень одной из функций, например, , рассмотрев оба случая, т. е. когда  и когда .

Решить полученное квадратное уравнение относительно тригонометрической функции.

Решить уравнение: .

Решение:

1-й случай.

, т. к. .

2-й случай.

,

или ,

Ответ: .

Решить уравнение: .

Решение: данное уравнение равносильно

,

.

Применяя методику решения для полученного однородного уравнения, имеем:

Первая система не имеет решений, вторая даёт совокупность двух уравнений

Ответ:

Определение: уравнение вида называется однородным тригонометрическим уравнением первой степени относительно функций синус и косинус.

Пример: ,

.

Решение примера однородного тригонометрического уравнения первой степени выполняется по аналогичной методике.

1)

Решение системы  проиллюстрировано на рисунке 1.

2)

.

Ответ: .

,

,

.

1) Решить уравнение:

.

Решение: .

,

или ,

;

,

.

Ответ: .

2) Решить уравнение: .

Решение: .

,

или ,

; ,

.

Ответ: ; .

3) Решить уравнение: .

Решение: .

1-й способ.

,

,

или ,

; .

Объединяя решения (см. рис. 2), получим:

.

Ответ: .

2-й способ.

Используя формулы понижения степени, получаем:

,

,

,

,

.

Ответ: .

На уроке рассматривались решения однородных уравнений.

На следующем уроке продолжается решение задач и уравнений.

Список рекомендованной литературы

1. Алгебра и начала анализа, 10 класс (в двух частях). Учебник для общеобразовательных учреждений (профильный уровень) под ред. А. Г. Мордковича. – М.: Мнемозина, 2009.

2. Алгебра и начала анализа, 10 класс (в двух частях). Задачник  для общеобразовательных учреждений (профильный уровень) под ред. А. Г. Мордковича. – М.: Мнемозина, 2007.

3. Виленкин Н. Я., Ивашев-Мусатов О. С., Шварцбурд С. И. Алгебра и математический анализ для 10 класса (учебное пособие для учащихся школ и классов с углублённым изучением математики). - М.: Просвещение, 1996.

4. Галицкий М. Л., Мошкович М. М., Шварцбурд С. И. Углублённое изучение алгебры и математического анализа. - М.: Просвещение, 1997.

5. Сборник задач по математике для поступающих во ВТУЗы (под ред. М. И. Сканави). - М.: Высшая школа, 1992.

6. Мерзляк А. Г., Полонский В. Б., Якир М. С. Алгебраический тренажёр. - К.: А. С. К., 1997.

7. Звавич Л. И., Шляпочник Л. Я., Чинкина. Алгебра и начала анализа. 8-11 кл.: Пособие для школ и классов с углублённым изучением математики (дидактические материалы). - М.: Дрофа, 2002.

8. Саакян С. М., Гольдман А. М., Денисов Д. В. Задачи по алгебре и началам анализа (пособие для учащихся 10-11 классов общеобразов. учреждений). - М.: Просвещение, 2003.

9. Карп А. П. Сборник задач по алгебре и началам анализа : учеб. пособие для 10-11 кл. с углубл. изуч. математики. - М.: Просвещение, 2006.

10. Глейзер Г. И. История математики в школе. 9-10 классы (пособие для учителей). - М.: Просвещение, 1983.

Полезные ссылки

1. Интернет-портал «mathematics.ru». 

Проверь себя

1. № 23.14(а, б), 23.15(a), 23.17(a) (Алгебра и начала анализа, 10 класс (в двух частях). Задачник для общеобразовательных учреждений (профильный уровень) под ред. А. Г. Мордковича. – М.: Мнемозина, 2007.)