03. Решение задач на косинус и синус разности аргументов

Рассмотрение формул косинуса и синуса разности аргументов

Выпишем 2 формулы:

- косинус разности аргументов:

,

то есть косинус разности аргументов – это сумма произведений косинусов и синусов этих аргументов.

- синус разности аргументов:

,

т. е. синус разности аргументов – это разность произведений синуса на косинус и косинуса на синус .

В задачах важно понимать, что принимать за и .

Задача 1 на упрощение выражения с помощью формулы синуса разности аргументов

Задача 1. Упростить .

Решение:

Принимаем за , т. е. , а , и используем формулу синус разности аргументов.

Задача 2 на упрощение выражения с помощью формулы косинуса разности аргументов

Задача 2. Упростить .

Решение:

Подходит формула косинуса разности аргументов, но у нас разность произведений, поэтому преобразуем данное выражение, воспользовавшись свойством чётности функции косинус и свойством нечётности функции синус:

Мы не только упростили выражение, но и вычислили его.

Задача 3 на упрощение выражения с помощью формулы синуса разности аргументов

Задача 3. Упростить выражение .

Решение:

=

Воспользовавшись свойством чётности функции косинус и свойством нечётности  функции синус, получаем:

= =

Т.к.

, то

= = = =

Разветвление Вычислительные задачи по теме урока

Вычислительные задачи по теме урока

Вычислить:

Решение:

Воспользуемся формулой косинус разности аргументов.

===0

Вычислить:

Решение:

Воспользуемся формулой синус разности аргументов.

==

Задача 4 на нахождение синуса и сравнение чисел с помощью формул косинуса и синуса разности аргументов

Задача 4.

Дано:

Найти: a) б) сравнить и

Решение:

а) Рассмотрим тригонометрическую окружность (рис.1):

Числом t является длина выделенной дуги.

а) =

Все величины, кроме нам известны.

= = ====

Недостающее число найдено.

 ==,

Т. е.

б) Сравнить поможет , если он отрицательный, число находится во второй четверти, если положительный – в первой (справа от ) (рис. 2).

Все величины нам известны:

==

Это величина отрицательная, следовательно, и косинус отрицательный (расположен во второй четверти):

.

Иногда приходится применять две формулы сразу в одной задаче.

Задача 5 на решение уравнения с помощью формул косинуса и синуса разности аргументов

Задача 5.  Решить уравнение:  .

Решение:

Применяем свойство чётности функции косинуса и свойство нечётности функции синуса:

==

Получили простейшее тригонометрическое уравнение.

 Для угла первое множество решений даёт точка , второе множество

решений - ) (рис. 3).

Мы решили уравнение и нашли все его решения, их бесчисленное множество.

Подведение итогов

На данном уроке были рассмотрены формулы косинуса и синуса разности аргументов и решены типовые задачи с применением данных формул.

Список литературы

1. Алгебра и начала математического анализа. 10–11 классы. В 2 ч. Ч. 1. Учебник для учащихся общеобразовательных учреждений (базовый уровень) / А. Г. Мордкович. – 10-е изд., стер. – М.: Мнемозина, 2009. – 399 с.: ил.

2. Алимов А.Ш, Колягин Ю.М. и др. Алгебра и начала математического анализа. 10–11 классы. Учебник (базовый уровень).

3. Карп А.П. Сборник задач по алгебре и началам анализа. 10–11 класс. – М.: Просвещение, 1995. – 176 с.

4. Саакян С.М., Гольдман А.М., Денисов Д.В. Задачи по алгебре и началам анализа (пособие для учащихся 10–11 классов общеобразов. учреждений). – М.: Просвещение, 2003.

Домашнее задание

1. Вычислить .

2. Вычислить .

3. Упростить выражение: .

4. Вычислить . 

Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

1. Интернет-портал «sokolova-aa.ru» (Источник).

2. Интернет-портал «urokimatematiki.ru» (Источник).