04. Решение задач по теме «Числовая окружность на координатной плоскости» 

Числовая окружность

Мы рассматриваем числовую окружность с центром в начале координат,и началом отсчета в точке, как показано на рисунке 1.

Каждому действительному числусоответствует единственная точкана этой окружности ( рис. 1).

Как получается эта точка?

Откладываем дугу, равную по модулю, против часовой стрелки (если) и по часовой стрелке (если). Итак, точкаполучена.

Каждая точкаимеет единственную пару декартовых координат: абсциссу и ординату(рис. 1). Имеем действительное число, по нему находим единственную точку на окружности, а эта единственная точка на окружности имеет единственную пару декартовых координат

Таким образом, каждому действительному числусопоставляется два числаи. Имеем функциии.

Далее этим функциям будут даны специальные названияи. Закон, по которому каждомусопоставляется пара чиселипредъявлен. Он удовлетворяет единственности, а значит, введение двух функций обоснованно. С каждой функцией связано две основные задачи.

Прямая задача

По заданномунайти значение функциии

Обратная задача

По заданному значению зависимой переменнойилинайти все соответствующие значения аргументаТо есть найти множество всех значений аргумента, при которых зависимая переменная достигает заданного значения. Обратная задача имеет бесчисленное множество решений.

Решение вида t+2πn

Числамсоответствует одна и та же единственная точкана окружности, то есть

Почему же точкамисоответствует одна и та же точкана окружности?

Потому, что– длина единичной окружности. Ведь длина окружности, так какСделав полный оборот, из точкимы снова попадаем в точку. Числодалее будет называться наименьшим положительным периодом функциии

Рассмотрим еще один пример. Пусть точкасоответствует на циферблате числу 1 и часовая стрелка указала на эту точку числа, то есть на 1, один час. Но если мы находимся в комнате без окон, то мы не сможем определить, что это, час дня или час ночи. Этот пример иллюстрирует неоднозначность решения обратной задачи.

Задача 1.

Дано действительное

Найти: место расположения точкии ее декартовы координатыи

Решение

Точкуможно найти несколькими способами.

Первый способ нахождения точки M

Дугу, равнуюразделим на 3 равные части (рис. 2). Каждая часть – это. Значит, точкаимеет координату, так как

Второй способ нахождения точки M

Можно использовать формулу длины окружности:Стало быть, отложим уголи получим точку.

Итак, расположение точкинайдено двумя способами.

Найдем декартовы координатыиЭти координаты можно найти из прямоугольного треугольника. В нем известна гипотенуза, известен острый угол(рис. 3). Значит,;.

Ответ:;

Замечание: точканаходится в первой четверти, ее декартовы координаты положительны и совпадают с длинами катетов. Зная координаты точки, несложно найти координаты симметричных точек относительно осей и относительно центра.

Задача-следствие

Задача 2.

Дана точка;

Найти: координаты точексимметричных относительно осей координат и точке

Решение:

Будет очевидным, если мы каждую дугу разделим на 3 равные части, каждая часть имеет длину, учтем симметрию и в результате получим ответ.

Для точки(рис. 4):

;;.

Для точки(рис. 4):

;;.

Для точки(рис. 4):

;;

Замечание

Криволинейных координат бесчисленное множество. Например, точкаКоордината точки;;;

Обратная задача

Дано значение абсциссы

Найти множество значений аргумента.

Множество значений всехА именно, решить уравнение. Чтобы решить это уравнение, нужно вспомнить, каким образом по заданному числумы получали точкуи ее декартовы координаты. А именно, мы откладывали дугу, отмечали точку на окружности. Затем опускали перпендикуляры и получали декартовы координаты.

Здесь процесс выполняется в обратном направлении. Из точки(рис. 5) в координатывосстанавливаем перпендикуляр к осии получим две точкиина единичной окружности. Это единственная пара точек на окружности с заданной абсциссойТеперь нужно определить длину дуги(рис. 5). Рассмотрим треугольникГипотенуза – 1, катет –

Значит,. Отсюда. И соответствующая дуга.

, значит, первая криволинейная координата точки:, а точки:

.Все координаты точки, а все координаты точки(рис. 5).

Ответ:

Задача на нахождение декартовых координат

Дано:

Найти: декартовы координаты точки

Решение:

Числамисоответствует одна и та же точкана окружности. Точка– середина дуги(рис. 6). Декартовы координаты ее найдем из, в нем гипотенуза – 1. Известно, что

Ответ: 

Вывод

Мы сформулировали и рассмотрели основные задачи на числовую окружность в координатной плоскости.

Список литературы

1. Алгебра и начала анализа, 10 класс (в двух частях). Учебник для общеобразовательных учреждений (профильный уровень) под ред. А. Г. Мордковича. – М.: Мнемозина, 2009.

2. Алгебра и начала анализа, 10 класс (в двух частях). Задачник  для общеобразовательных учреждений (профильный уровень) под ред. А. Г. Мордковича. – М.: Мнемозина, 2007.

3. Виленкин Н.Я., Ивашев-Мусатов О.С., Шварцбурд С.И. Алгебра и математический анализ для 10 класса (учебное пособие для учащихся школ и классов с углубленным изучением математики). – М.: Просвещение, 1996.

4. Галицкий М.Л., Мошкович М.М., Шварцбурд С.И. Углубленное изучение алгебры и математического анализа. – М.: Просвещение, 1997.

5. Сборник задач по математике для поступающих во ВТУЗы (под ред. М.И. Сканави). – М.: Высшая школа, 1992.

6. Мерзляк А.Г., Полонский В.Б., Якир М.С. Алгебраический тренажер. – К.: А.С.К., 1997.

7. Саакян С.М., Гольдман А.М., Денисов Д.В. Задачи по алгебре и началам анализа (пособие для учащихся 10–11 классов общеобразов. учреждений). – М.: Просвещение, 2003.

8. Карп А.П. Сборник задач по алгебре и началам анализа : учеб. пособие для 10–11 кл. с углубл. изуч. математики. – М.: Просвещение, 2006.

Домашнее задание

1. В какой координатной четверти находится угол 196°?

2. Определите  координаты точки числовой окружности.

3. Как расположены на числовой окружности точки, соответствующие числами?

4. Что можно сказать о расположении точек на числовой окружности, соответствующих числами?

Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

1. Интернет-портал «‎mathematics-tests.com»‎ (Источник).

2. Интернет-портал «‎myshared.ru»‎ (Источник).