01. Синус и косинус суммы аргументов

Введение. Формулы синуса и косинуса суммы двух аргументов

На уроке рассматриваются формулы синуса и косинусасуммы аргументов, применение этих формул для решения некоторых задач на вычисление и упрощение выражений, решение уравнений и доказательство тождеств.

Самыми важными в тригонометрии являются следующие две формулы:

Применение формул синуса и косинуса суммы двух аргументов для разных задач

1. Задача: Вычислить

Решение:

1) Применяя формулу синуса суммы двух углов, имеем:

2) Применяя формулу косинуса суммы двух углов, имеем:

Ответ:;

2. Задача: упростить выражение

Решение: применяя формулу синуса суммы двух аргументов, получаем:

Ответ:      

 В следующей задаче используется формула косинуса суммы двух аргументов.

3. Задача: упростить выражение

Решение:

Ответ:

Доказательство тождеств с помощью формул синуса и косинуса суммы двух аргументов

4.   Доказать тождество:

Доказательство:

что и требовалось доказать. Все действия можно провести и в обратном порядке.

5. Доказать тождество:
(1)

Доказательство:

Пусть

1) Докажем, что левая часть равна правой части:

2) Можно доказать, что правая часть равна левой части:

Получимпри всех

При этом, (1) эквивалентно верному равенству при всех действительных

Тождество доказано.

Вычислительные задачи

6. Найдите значение выражения:

Решение:

Используя формулуприполучаем:

Ответ:

7. Вычислить:

Решение:

Ответ:

Применение изучаемых формул при решении уравнений

8. Решить уравнение:

Решение: применяя формулуприполучаем:

,

 Ответ:

9. Решить уравнение:

Решение:

Частный случай решения уравнения(см. на рис.1).

Ответ:

10. Задача.

Дано:

Вычислить:

Вычисление:

 из основного тригонометрического тождества имеем:

Ответ:

11. Формулировка задачи: найти наименьший положительный корень уравнения в градусах

Решение:

Углы со значением синусаописываются двумя множествами точек, см. рис.2.

Рис. 2. Углы со значением синуса

 или 

Поскольку требуется найти наименьший положительный корень, выполним отбор корня (см. рис.3)

Первое множество значенийописывается точкой

Второе множество значенийописывается точкой

Ответ:

Итог урока

На уроке  рассматривались формулы синуса и косинуса суммы аргументов, их применение для решения некоторых задач.

На следующем уроке будут рассмотрены формулы синуса и косинуса разности аргументов.

Список рекомендованной литературы

1. Алгебра и начала анализа, 10 класс (в двух частях). Учебник для общеобразовательных учреждений (профильный уровень) под ред. А. Г. Мордковича. –М.: Мнемозина, 2009.

2. Алгебра и начала анализа, 10 класс (в двух частях). Задачник  для общеобразовательных учреждений (профильный уровень) под ред. А. Г. Мордковича. –М.: Мнемозина, 2007.

3. Виленкин Н.Я., Ивашев-Мусатов О.С., Шварцбурд С.И. Алгебра и математический анализ для 10 класса (учебное пособие для учащихся школ и классов с углубленным изучением математики).-М.: Просвещение, 1996.

4. Галицкий М.Л., Мошкович М.М., Шварцбурд С.И. Углубленное изучение алгебры и математического анализа.-М.: Просвещение, 1997.

5. Сборник задач по математике для поступающих во ВТУЗы (под ред. М.И.Сканави).-М.:Высшая школа, 1992.

6. Мерзляк А.Г., Полонский В.Б., Якир М.С. Алгебраический тренажер.-К.: А.С.К., 1997.

7. ЗвавичЛ.И., Шляпочник Л.Я., Чинкина Алгебра и начала анализа. 8-11 кл.: Пособие для школ и классов с углубленным изучением математики (дидактические материалы).-М.: Дрофа, 2002.

8. Саакян С.М., Гольдман А.М., Денисов Д.В. Задачи по алгебре и началам анализа (пособие для учащихся 10-11 классов общеобразов. учреждений).-М.: Просвещение, 2003.

9. Карп А.П. Сборник задач по алгебре и началам анализа : учеб. пособие для 10-11 кл. с углубл. изуч. математики.-М.: Просвещение, 2006.

10. Глейзер Г.И. История математики в школе. 9-10 классы (пособие для учителей).-М.: Просвещение, 1983.

Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

1. Интернет-портал «mathematics.ru» (Источник). 

Сделай дома

№№ 19.1, 19.5, 19.10(в) (Алгебра и начала анализа, 10 класс (в двух частях). Задачник для общеобразовательных учреждений (профильный уровень) под ред. А. Г. Мордковича. –М.: Мнемозина, 2007.)