05. Синус и косинус

Определение синуса и косинуса

Поместим числовую окружность (окружность с радиусом, равным 1) в координатную плоскость (см. Рис. 1). Точки , , ,  – это точки пересечения числовой окружности с осями координат.

Числу  соответствует единственная точка  с координатами . Первая координата – это косинус числа , вторая координата – это синус числа .

;

;

.

Если точка  на числовой окружности соответствует числу , то абсциссу точки  называют косинусом числа , а ординату точки  называют синусом числа .

 – это линия синусов. Синус любого числа  лежит в пределах от  до .

 – это линия косинусов. Косинус любого числа  лежит в пределах от  до .

;

.

Задача 1

Дано: .

Найти: ;  .

Решение

Решим данную задачу двумя способами:

1 способ (см. Рис. 2)

1. Отметим на единичной окружности точку , которая соответствует заданному числу :

Число  можно представить в виде . Точка  на числовой окружности соответствует числу , следовательно, точка  будет лежать на числовой окружности в третьем координатном углу.

2. Опускаем перпендикуляры из точки  на оси координат:

- точка  – это точка пересечения перпендикуляра с осью , координаты этой точки .

- точка  – это точка пересечения перпендикуляра с осью , координаты этой точки .

3. Рассмотрим :

- гипотенуза .

- угол  равен угловому измерению дуги , то есть .

- катет  равен произведению гипотенузы на косинус прилежащего угла, то есть:

- этот прямоугольный треугольник является равнобедренным, так как один из его углов равен , следовательно: 

Так как , то .

Значит, ,  (в обоих случаях знак минус, так как точка  лежит на числовой окружности в третьем координатном углу, где значения координаты  и  отрицательны).

2 способ

Воспользуемся следующими свойствами:

Согласно этим свойствам получаем:

Ответ: ; .

Задача 2

Решить уравнение:

1.

Решение

Синус числа – это ордината точки, находящейся на числовой окружности (см. Рис. 3). Поэтому чтобы определить, где , нам надо найти, где на единичной окружности . Двигаясь вверх по оси , попадаем в точку , которая соответствует числу .

Это только одна из точек, в которых синус равен 1. Через полный оборот окружности мы снова попадем в эту точку, через два, три и так далее – тоже. Чтобы учесть все точки, в которых , необходимо к  прибавить , где  – целое число, то есть .

Ответ: , где .

2.

Решение

Отрезок  – это линия синусов (см. Рис. 3). При этом значение  синус принимает в точке , которая соответствует числу . Через полный оборот окружности мы снова попадем в эту точку, через два, три и так далее – тоже. Чтобы учесть все точки, в которых , необходимо к  прибавить , где  – целое число, то есть .

Ответ: , где .

3.  

Решение

Отрезок  – это линия косинусов (см. Рис. 4). Обозначим на этой линии точку  с координатами . Эта точка будет лежать посередине отрезка , так как .

Проведем через точку  перпендикуляр к оси . Мы получили две точки на пересечении перпендикуляра и числовой окружности –  и  (только эти точки проектируются на линию косинусов в точку ).

Необходимо определить длину дуги . Данная дуга состоит из дуги , длина которой равна , и дуги :

Для того чтобы определить длину дуги , рассмотрим треугольник . Этот треугольник прямоугольный, катет  равен половине гипотенузы , следовательно, угол . Так как углы  и  – это накрест лежащие углы, то . Отсюда следует, что .

Таким образом:

Следовательно, точке  соответствуют числа , где  – целое число. Аналогично точке  соответствуют числа , где  – целое число.

Ответ: , где .

Список литературы

1. Мордкович А.Г., Семенов П.В. Алгебра и начала математического анализа, 10 класс. В 2 ч. Ч. 1. Учебник для учащихся общеобразовательных учреждений. – М.: Мнемозина, 2009.

2. Мордкович А.Г. Алгебра и начала математического анализа, 10 класс. В 2 ч. Ч. 2. Задачник для учащихся общеобразовательных учреждений. – М.: Мнемозина, 2009.

3. Виленкин Н.Я., Ивашев-Мусатов О.С., Шварцбурд С.И. Алгебра и математический анализ для 10 класса (учебное пособие для учащихся школ и классов с углубленным изучением математики). – М.: Просвещение, 1996.

4. Колягин Ю.М., Сидоров Ю.В., Ткачева М.В., Федорова М.В., Шабунин М.И. Алгебра и начала математического анализа, 10 класс. Учебник для учащихся общеобразовательных учреждений (профильный уровень). – М.: Мнемозина, 2009.

Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

1. Интернет-сайт «kursoteka.ru» (Источник).

Домашнее задание

1. Задание 13.2, 13.28 (стр. 77–80) – Мордкович А.Г. Алгебра и начала математического анализа, 10 класс. В 2 ч. Ч. 2. Задачник.

2. Решите уравнение .

3. Найдите значение выражения , если .