09. Степенные, показательные и логарифмические уравнения и неравенства. Профильный уровень

Степенные уравнения

Вернемся в начальную школу. Вспомните, как мы начинали учиться писать. Сначала писали прописи, учились работать с базовыми элементами: как писать буквы, как правильно их соединять в слоги и слова. А уже потом перешли к написанию предложений и длинных текстов. Такой путь можно проследить в любом деле, которое осваивает человек.

Плотник не сразу сделает деревянную мебель, сначала он должен научиться обрабатывать древесину. Программист сначала учит простейшие команды, синтаксис языка и только потом он сможет разрабатывать сайты и писать сложные программы.

Этот же путь, от базовых вещей к сложным задачам, можно проследить и в курсе алгебры. Сначала мы изучали основы: сложение с умножением, извлечение корня, преобразование тригонометрических выражений. А затем учились применять изученные базовые принципы и свойства для решения математических моделей реальных задач.

Глобально можно выделить две такие задачи. Первая – это исследование функций. Любой процесс можно с некоторой точностью описать функцией одной или нескольких переменных. Построив график функции, описав ее свойства, мы сможем исследовать и охарактеризовать этот процесс: быстро ли он проходит, от чего зависит и прочее.

Вторая глобальная задача – решение уравнений, неравенств и их систем. Вспомните: при решении различных практических задач мы чаще всего получаем математическую модель в виде уравнения, неравенства или их систем, которые нужно научиться решать.

Мы изучили свойства степеней и логарифмов, научились работать с графиками соответствующих функций. Теперь перейдем ко второй задаче: решению степенных, показательных и логарифмических уравнений, неравенств и их систем.

Начнем со степенных уравнений. Для их решения нам понадобится следующее утверждение: если , то  для всех действительных . Исключение – четные значения . Для них, если , то  или .

Это легко увидеть, построив графики левой и правой частей равенства. Для всех показателей степени , каждому значению функции  соответствует ровно один аргумент (см. рис. 1).

Таким образом, если значения функции равны, то равны и аргументы. Исключение – четные значения . По графику видим, что каждому значению функции соответствует два противоположных значения аргумента (см. рис. 2). И если значения функций равны, то их аргументы или равны, или противоположны.

Идея решения степенных уравнений: представить левую и правую части как степени с одинаковым показателем. И затем использовать указанное ранее свойство.

Задание 1. Решить уравнение:

Решение.

Слева третья степень, представим правую часть как третью степень выражения:

Получаем:

Показатели равны, это нечетные числа. Поэтому можем сказать, что равны и основания:

Получили линейное уравнение:

Ответ: .

Как видите, используя указанное свойство мы свели решение нашего уравнения к тому, которое мы уже умеет решать. В дальнейшем мы будем подробно останавливаться лишь на первой части решения – сведению уравнения к линейному, квадратному или любому другому, алгоритм решения которых вы уже знаете.

Задание 2. Решить уравнение:

Решение.

Сразу отметим, что степень с отрицательным целым показателем определена только для ненулевого основания: , .

Т. е. ОДЗ: . Слева – минус четвертая степень, сделаем справа такую же степень:

Тогда:

Степень четная, значит основания или равны, или противоположны:

Получили линейные уравнения, которые вы можете решить самостоятельно. Получаем ответ:

Оба решения входят в ОДЗ.

Ответ: ;.

Задание 3. Решить уравнение:

Решение.

Слева – седьмая степень, нужно представить число справа в виде седьмой степени. Подобрать целое число, которое при возведении в  степень даст , не получится. Поэтому используем свойство степени:

Тогда:

Получим:

Степени равны и нечетные, поэтому:

Ответ: .

Сформулируем общий алгоритм решения степенных уравнений:

1. указать ОДЗ уравнения, для отрицательных степеней – основание не равно , для нецелых степеней – основание больше либо равно нулю;

2. представить уравнение в виде , при необходимости использовать свойства степени;

3. записать следствие: или  для четных значений ; для всех остальных степеней;

4. решить полученное уравнение и сверить ответы с ОДЗ.

Простейшие показательные уравнения и неравенства

Мы рассмотрели степенные уравнения – уравнения, у которых неизвестная стояла в основании степени. Теперь рассмотрим уравнения, в которых неизвестная стоит в показателе степени – показательные уравнения. Идея их решения очень похожа на ту, что мы использовали при решении степенных уравнений. Нужно свести уравнение к виду:

Т. е. так, чтобы слева и справа были степени с одинаковым основанием.

Из того, что  следует, что . Это следует из монотонности графика показательной функции: каждому значению функции соответствует ровно одно значение аргумента (см. рис. 3). Если значения функций равны, то равны и их аргументы.

Задание 4. Решить уравнение:

Решение.

Слева – основание , сделаем справа такое же:

Тогда:

Из этого следует, что:

Получили линейное уравнение:

Ответ: .

Задание 5. Решить уравнение:

Решение.

Здесь видим в основании  и . Это все целые степени тройки, поэтому удобно левую и правую части привести к основанию . Применяя свойства степени, получаем:

Получаем уравнение:

Основание равны, значит, равны и степени:

Решая это линейное уравнение, получаем ответ:

Ответ: .

Идея решения показательных неравенств очень похожа. Нужно привести неравенство к виду ; между частями может быть любой другой знак, все выводы будут аналогичными. Затем возможны два варианта.

Первый вариант – основание . Тогда соответствующая показательная функция будет возрастающей (см. рис. 4). Значит, большему значению функции соответствует больший аргумент. И из  будет следовать, что . Знак неравенства не поменялся.

Второй вариант – основание . Тогда соответствующая функция будет убывающей (см. рис. 5). Большему значению функции соответствует меньший аргумент. Значит, из  следует, что . Знак неравенства изменился на противоположный.

В обоих случая получаем неравенство, обычно линейное или квадратное, которое решаем стандартными методами. Если вы не помните методы решения неравенств, можете их повторить, посмотрев уроки Линейные неравенства. Системы и совокупности неравенств; Решение квадратных неравенств. Метод интервалов.

Задание 6. Решить неравенство:

Решение.

Приводим левую и правую часть к одинаковым основаниям. Слева – основание . Справа из  можно сделать степень с любым основанием: ,. Нужно – делаем :

Получаем:

Основания одинаковы и больше . Значит, для показателей степени знак неравенства не поменяется:

Решая неравенство, получаем:

Ответ: .

Задание 7. Решить неравенство:

Решение.

Неравенство выглядит громоздко, но оно не сложнее предыдущего. Действуем по алгоритму. Смотрим на основания степеней – это взаимообратные дроби. Чтобы сделать основания одинаковыми, запишем:

Тогда:

Получаем неравенство:

Основание уже одинаковые. Они больше или меньше ? , значит,  будет меньше . Поэтому записываем неравенство для показателей степени и меняем знак:

Получили квадратное неравенство. Решая его, получаем ответ:

Ответ: .

Теперь рассмотрим несколько задач, где не так очевидно, как можно привести обе части к одинаковому основанию.

Задание 8. Решить неравенство:

Решение.

Чтобы представить число  в виде степени с основанием , воспользуемся основным логарифмическим тождеством. Вспомним:  для любых положительных  и . Тогда:

Получаем неравенство:

Основания равны и больше . Значит:

Получаем ответ:

Ответ: .

Задание 9. Решить уравнение:

Решение.

Здесь в левой части стоит разность степенных выражений. Прежде чем решать по алгоритму, упростим левую часть, разложив ее на множители:

Получим уравнение:

Разделив обе части уравнения на , получим:

, т. е.:

Ответ: .

С решением еще одного показательного уравнения вы можете ознакомиться ниже.

Пример решения показательного уравнения

Задание. Решить уравнение:

Решение.

Здесь мы видим разные основания:  и , которые сложно будет свести к одному. Можно попробовать это сделать с помощью основного логарифмического тождества, но это долгий путь. Если не получается привести к одинаковым основаниям, то можно попробовать привести к одинаковым показателям степени – в этом случае тоже можно воспользоваться свойствами степени для упрощения выражений. Поступим следующим образом.

Для начала отметим, что , следовательно:

Теперь можем разделить обе части уравнения на  и применить свойство степеней, поскольку степени  и  теперь одинаковые:

Теперь представим  в виде степени с основанием :

В итоге:

Ответ: .

Простейшие логарифмические уравнения и неравенства

Рассмотрим теперь решение логарифмических уравнений. Общая идея решения нам уже знакома – привести левую и правую части к логарифмам с одинаковым основанием:

Как и показательная, логарифмическая функция также имеет лишь один аргумент для каждого значения функции (см. рис. 6).

Из равенства логарифмов будет следовать равенство подлогарифмических выражений:

Итак, наша задача: привести левую и правую части уравнения к логарифмам с одинаковым основанием, используя различные свойства логарифмов. Все так же, как и в показательных уравнениях. Единственное, что нужно учесть ОДЗ: подлогарифмическое выражение всегда больше 0 (ОДЗ: ;).

Задание 10. Решить уравнение:

Решение.

Для начала выпишем ОДЗ: ;. Переходим к решению. Основания логарифмов равны, можем приравнять выражения под логарифмами:

Корни данного квадратного уравнения:

;

Выполним проверку:

:

Неравенства верны.

:

Неравенства верны.

Оба корня входят в ОДЗ.

Ответ: ;.

Задание 11. Решить уравнение:

Решение.

ОДЗ:

Чтобы привести левую часть к логарифму с основанием , воспользуемся одним из свойств логарифма:  для любого значения .

Таким образом:

Получаем уравнение:

Основания логарифмов равны, значит:

Решая уравнение, получаем . Корень входит в ОДЗ:

Ответ: .

Это же уравнение можно было решить и с помощью определения логарифма. Подробнее об этом – ниже.

Еще один способ решения уравнения

Посмотрим на уравнение . По определению, логарифм – это степень, в которую нужно возвести основание логарифма, чтобы получить то, что под логарифмом. Т. е.,  нужно возвести в  степень, чтобы получить :

Мы получили такое же уравнение, корнем которого также будет . Это вполне естественно – решая разными способами, мы получили такой же ответ. Возможно, кому-то этот способ покажется более простым. Что ж, можете его использовать. Но обратите внимание, что он не такой универсальный. Он подойдет только в случае, если в одной из частей уравнения стоит число.

Задание 12. Решить уравнение:

Решение.

Записываем ОДЗ:

Теперь нужно привести обе части уравнения к одинаковому основанию. По слагаемым понятно, что это будет основание . По свойству логарифмов:

Получаем уравнение:

Основание логарифмов равны, значит, можем записать:

Получили квадратное уравнение. Попробуйте решить его самостоятельно. Его корни:

;

Проверяем ОДЗ:

:

Неравенства верны.

:

Первое и второе неравенства неверны.

Получаем ответ:

Ответ: .

С решением еще одного логарифмического уравнения вы можете ознакомиться в ответвлении.

Пример решения логарифмического уравнения

Задание. Решить уравнение:

Решение.

Сразу записываем ОДЗ:

;

Вспомним, что:

Чтобы удобнее было приводить к одинаковому основанию, так и запишем:

Слева и справа основания разные. Что делать? Вспомним свойство логарифма для положительных  и :

; ,

Поскольку , то:

Теперь внесем коэффициент перед логарифмом, используя свойство:

; ,

Получили уравнение:

Основания равны, значит:

По свойству степени:

Получили квадратное уравнение:

Его корни: ,.

Проверяем:

:

Неравенства неверны.

:

Неравенства верны.

Получаем ответ:

Ответ: .

Наконец, рассмотрим простейшие логарифмические неравенства. Идея та же: привести к одинаковому основанию. Далее, как и в показательных неравенствах, смотрим на основание.

Если , то записываем неравенство уже без логарифмов и знак не меняем:

Если , то знак меняем на противоположный:

Также на забываем учесть ОДЗ: ;.

Задание 13. Решить неравенство:

Решение.

ОДЗ:

Левую часть неравенства нужно представить, как логарифм с основанием . По свойству логарифмов:

Тогда:

Основания логарифмов одинаковые и больше 1. Можем записать неравенство для подлогарифмических выражений, не меняя знак:

С учетом ОДЗ получаем систему неравенств:

Получаем ответ:

Ответ: .

Метод замены в показательных и логарифмических уравнениях и неравенствах

Мы разобрали простейшие показательные и логарифмические уравнения и неравенства. В них мы всегда могли свести левую и правую части к одинаковым основаниям. Сейчас мы разберем несколько задач, которые можно свести к этим самым простейшим уравнениям и неравенствам.

Метод, который нам понадобится, мы уже использовали при решении рациональных и тригонометрических уравнений – это метод замены. Нужно увидеть одинаковые блоки выражений в условии и заменить их новой переменной (Практика. Решение квадратных и дробно-рациональных уравнений. Практика. Тригонометрические уравнения и неравенства. Базовый уровень).

Задание 14. Решить уравнение:

Решение.

Укажем ОДЗ:

Обратите внимание, что в первом слагаемом логарифм в квадрате. Поэтому использовать свойства логарифмов с одинаковым основанием не получится. Но у нас есть повторяющийся элемент: . Введем замену:

Тогда:

Получаем уравнение:

Получили квадратное уравнение. Его корни:

Не забываем выполнить обратную замену:

Теперь у нас два простейших уравнения. Итак, в первом уравнении:

Во втором:

Значение  можно вычислить:

Оба корня входят в ОДЗ.

Ответ: ;.

В некоторых уравнениях замена не сразу очевидна. Сначала нужно преобразовать уравнение, чтобы ее увидеть.

Задание 15. Решить уравнение:

Решение.

Тут у нас два слагаемых с неизвестными. Давайте сначала приведем их к одинаковому основанию:

Значит:

Чтобы увидеть замену, воспользуемся свойствами степени:

Теперь видно, какую замену нужно сделать:

Тогда:

Получаем квадратное уравнение:

Решая его, получаем:

Делаем обратную замену:

В первом уравнении:

Второе уравнение не имеет решений, поскольку показательные выражение могут быть только положительными.

Ответ: .

Еще раз обратим внимание, как мы преобразовали выражение :

Такой прием достаточно распространен в показательных уравнениях, поэтому можете запомнить его.

С помощью замены можно решать и неравенства.

Задание 16. Решить неравенство:

Решение.

Чтобы увидеть замену, преобразуем , используя свойства степеней:

Теперь видно замену:

Тогда:

Получаем неравенство:

Получили дробно-рациональное неравенство. Вы уже знаете, как решать такие неравенства. Попробуйте решить его самостоятельно, свериться можно ниже.

Решение дробно-рационального неравенства

Задание. Решить неравенство:

Решение.

Решим неравенство методом интервалов. Для этого перенесем все слагаемые в одну сторону:

И решим соответствующее уравнение:

ОДЗ:

Умножаем обе части равенства на :

По теореме Виета корни уравнения:

Расставляем особые точки ОДЗ и корни на оси (см. рис. 1).

Методом пробной точки определяем знаки на интервалах (см. рис. 2):

:

Знак .

:

Знак .

:

Знак .

:

Знак .

Выбираем интервалы со знаком :

Ответ: .

Решив неравенство, получаем:

Делаем обратную замену:

Решим каждом по отдельности:  выполняется автоматически (вспомните почему). Тогда первое неравенство превращается в . Решаем его:

Второе неравенство:

Получаем:

Ответ: .

Показательные уравнения повышенной сложности

Давайте рассмотрим более сложные примеры показательных уравнений.

Задание 17. Решить уравнение:

Решение.

Мы видим похожие выражение, но основания их – обратные дроби. Значит, можем записать:

Тогда можем применить прием, о котором мы говорили ранее:

Можем сделать замену:

Тогда:

Получаем уравнение:

ОДЗ: 

Умножаем обе части на :

Решая это уравнение, получаем единственный корень . Делаем обратную замену:

Хоть у нас в показателе и стоит синус, принцип неизменный: приводим обе части уравнения к одному основанию:

Основания равны, следовательно . Как видите, вся сложность состоит лишь в том, что в итоге мы получили не линейное или квадратное уравнение, а тригонометрическое. Но и их мы уже умеем решать:

Ответ: ;.

Есть еще один тип показательных уравнений, которые решаются заменой. Это однородные уравнения. С подобным типом мы уже сталкивались ранее, например, в тригонометрии. Показательные однородные уравнения похожи на них: у них также должна быть одинаковая степень у всех слагаемых, а в правой части – стоять ноль.

Задание 18. Решить уравнение:

Решение.

Для начала, как и во всех показательных уравнениях, попробуем привести степени к одинаковым основаниям, разложив имеющиеся основания на простые множители:

Получаем:

Видим, что это однородное уравнение: у слагаемых степени одинаковы: , справа в уравнении стоит . Идея решения похожа у всех однородных уравнений: делим на . Это выражение не равно нулю, имеем право делить. Получим:

Или, применив свойства степеней:

Теперь уже можем сделать замену:

Тогда:

Получаем квадратное уравнение:

Его корни:

Делаем обратную замену:

Первое уравнение не имеет решений, второй уравнение имеет корень .

Ответ: .

Логарифмические уравнения и неравенства повышенной сложности

Последнее, на что мы обратим наше внимание на сегодняшнем уроке, это более сложные логарифмические уравнения и неравенства.

Задание 19. Решить уравнение:

Решение.

Вся сложность заключается лишь в том, что неизвестная стоит в основании логарифма, с этим мы еще не сталкивались. Но ничего страшного, действуем по обычному алгоритму.

Первое – указываем ОДЗ. Основание логарифма больше нуля и не равно . Т. е. ОДЗ: ;. Приводим левую и правую части к одинаковому основанию. По свойству логарифма:

Получаем:

Основания равны, значит:

Получили квадратное уравнение, корни которого  и . Второй корень не входит в ОДЗ. Получаем ответ: .

Ответ: .

В неравенстве также может встретиться переменная в основании логарифма. Алгоритм решения при этом никак не изменится, но будет одно отличие – мы не будем знать, основание больше или меньше 1. А это, напомним, влияет на смену знака неравенства. Поэтому нужно будет рассмотреть два случая: когда основание больше и когда меньше 1. С примером решения подобного неравенства вы можете ознакомиться в ответвлении.

Неравенство с неизвестной в основании логарифма

Задание. Решить неравенство:

Решение.

Для начал выпишем ОДЗ. Под логарифмом – положительная величина:

В основании логарифма – положительная величина не равная единице:

;

Переходим к решению. Представим левую часть неравенства в виде логарифма с основанием :

Получим:

Основание одинаковы. Но мы не знаем, больше они  или меньше. Рассматриваем 2 случая:

1. при  знак неравенства не изменится:

Решая неравенство, получим:

Но в рассматриваемом случае , следовательно, останутся только значения  (см. рис. 1).

2. при  знак неравенства изменится противоположный:

Решая неравенство, получим:

Это соответствует нашему случаю, значит, все решения подойдут (см. рис. 2).

В итоге получаем (см. рис. 3):

Осталось учесть ОДЗ: ;;. Изобразим эти условие на оси и найдем пересечение ОДЗ с областью полученных решений (см. рис. 4).

Получаем ответ: .

В конце урока разберем еще одно логарифмическое неравенство. Алгоритм его решения абсолютно такой же, как и в более простом примере, разобранном ранее: указываем ОДЗ, приводим к одному основанию и решаем полученную систему неравенств. Сложность данного примера будет заключаться лишь в количестве полученных неравенств в системе. Поэтому мы посмотрим, как их количество можно уменьшить и упростить решение.

Задание 20. Решить неравенство:

Решение.

ОДЗ:

Приведем обе части к одному основанию. По свойству логарифмов:

Получаем неравенство:

Основание логарифмов равны и меньше . Записываем неравенство для подлогарифмических выражений и меняем знак неравенства:

С учетом ОДЗ получаем систему неравенств:

Осталось решить эту систему. Можно решать каждое по отдельности. А можно и облегчить себе задачу: ,, значит, их произведение также положительное. А из первого неравенства мы знаем, что  больше либо равно этому произведению. Значит, оно тоже точно положительно. Получается, второе неравенство автоматически выполняется, если верны 1, 3 и 4 неравенства. Значит, можем его не рассматривать. Остается система из трех неравенств:

Их уже придется решать. Попробуйте сделать это самостоятельно, проверить себя можно ниже.

Решение системы неравенств

Задание. Решить систему неравенств:

Решение.

Решим первое неравенство:

Раскроем скобки и перенесем все слагаемые в левую сторону

Разделим на :

Решим полученное неравенство методом интервалов:

По теореме Виета:

Расставим точки на оси (см. рис. 1).

Это квадратичный многочлен с положительным коэффициентом при , значит, знаки на интервалах будут  (см. рис. 2).

Выберем нужные интервалы (см. рис. 3).

На этой же оси отметим решения двух остальных неравенств (см. рис. 4):

, значит:

, значит:

Видим, что пересечений у всех трех решений нет. Значит, система не имеет решений.

Ответ: .

Список рекомендованной литературы

1. Алимов Ш. А., Колягин Ю. М., Ткачева М. В. Математика. Алгебра и начала математического анализа, геометрия. 10-11класс. Учебник. – АО «Издательство “Просвещение”».

2. Мордкович А. Г., Семенов П. В. Математика. Алгебра и начала математического анализа, геометрия. 10-11класс. Учебник. – ООО «ИОЦ МНЕМОЗИНА», 2019.

3. Никольский С. М., Потапов М. К., Решетников Н.Н. Алгебра и начала математического анализа, геометрия. 10 класс. Учебник. – АО «Издательство “Просвещение”».

Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

1. Ин­тер­нет-пор­тал «math.md» (Источник).

Рекомендованное домашнее задание

1. Решить уравнения: 

   а) ; 

   б) 

2. Решить уравнения: 

   а) ;

   б) 

3. Решить неравенства:

   а) ;

   б)