02. Свойства функций

На этом уроке мы повторим определение функции; рассмотрим примеры нахождения области определения и области значений функции; примеры выпуклости функции (вверх и вниз); примеры разрывной функции и другие свойства функции.

Если у вас возникнет сложность в понимании темы, рекомендуем посмотреть урок «Функции».

Пусть  – числовое множество.

Определение. Функцией  называется закон, который каждому числу  ставит в соответствие единственное число

Это определение числовой функции. Но используется стандартная терминология:

 – независимая переменная (аргумент);

 – зависимая переменная;

множество  называется областью определения функции и обозначается .

Важным является множество значений функции. Оно обозначается через , и это множество всех таких что :

 – область значений функции.

Итак, мы повторили, что такое функция, а также что такое область определения и множество значений функции.

Пусть . Существует закон, согласно которому берём  (аргумент) и возводим в квадрат. Но в первой функции все это происходит на множестве , а во второй функции все это происходит на множестве . Итак, есть закон, есть область определения – одна функция. Есть тот же закон и другая область определения – другая функция. Построим графики этих функций (рис. 1).

Имеем, ветвь параболы – это для первой функции. Для второй функции –  – это область определения. В точке функция равна , в точке – функция равна , проходит через . Это часть параболы (рис. 1).

Одна точка с координатами , а вторая точка с координатами .

Итак, мы имеем две функции – график первой функции и график второй функции. Область определения задана.

Множество значений – это проекция графика функции на ось На графике первой функции множество значений здесь – множество всех неотрицательных чисел; на втором – когда  меняется в пределах от до функция меняется в пределах от до Первая функция меняется на луче, а вторая – на отрезке.

Ещё раз напомним важные понятия – область определения и множество значений. Спроектировали график на ось  – получили область определения функции. Спроектировали график на ось  – получили множество значений функции.

Различают функции ограниченные и не ограниченные снизу или сверху. Дадим определение.

Функция  называется ограниченной снизу на множестве , если существует такое число что  при любом . Пояснить его легко. Вот данная функция (рис. 2, слева):

Она меняется в этих пределах (рис. 3).

Значит, если взять число, например  (), то при любом значении  функция больше, чем , значит, эта функция ограничена снизу. Например, числом

Но она не ограничена сверху () – рис. 4.

А вот вторая функция (рис. 5.). Она меняется в пределах от до значит,  ограничена и снизу и сверху. Например, числами  и ().

, если, конечно,  меняется в разрешённых пределах (в пределах от  до ).

Итак, мы рассмотрели функции, ограниченные и не ограниченные сверху и снизу.

Первая функция имеет наименьшее значение. Что это означает? Её наименьшее значение – значение (). Это означает, что 0 достигается в какой-то точке.  – первое условие, и второе условие – . Значит, эта функция имеет наименьшее значение.

Вторая функция имеет и наименьшее, и наибольшее значения (). Почему? Во-первых, 0 достигается (), во-вторых,  при всех допустимых значениях  больше либо равен 0 (). А допустимый  мы знаем, это  по определению. У функции также есть наибольшее значение. . Что это означает? Это означает, что существует такая точка, что функция достигает значения 4 ( – это первое, и второе –  при всех .

Следующее важное свойство функции – это её выпуклость вверх либо выпуклость вниз. Поясним его. Возьмём график некоторой функции. Пусть он ведёт себя таким образом (рис. 6).

И график второй функции. Пусть он ведёт себя таким образом (рис. 7).

Чем они отличаются? Возьмём две точки на графике – произвольные точки А и В. Есть дуга и хорда – отрезок АВ. Какие бы мы точки ни взяли – дуга лежит под хордой (под отрезком). На втором графике возьмём точки А и В. Дуга находится над хордой (отрезком) – рис. 8.

Говорят, что эта функция выпукла вниз (дуга внизу), а вторая – выпукла вверх (дуга находится над отрезком). Теперь мы готовы к строгому определению.

Функция  называется выпуклой вниз или выпуклой вверх на промежутке , если любая дуга графика функции на этом промежутке лежит ниже или выше отрезка, соединяющего концы дуги.

Приведём несколько конкретных примеров.

График этой функции – парабола. Возьмём любые две точки (А и В), соединим их. Дуга (кривая) лежит ниже (лежит под этим отрезком). Значит, эта функция выпукла вниз (рис. 9).

Рассмотрим ещё одну функцию.

На рисунке представлен график этой функции. Возьмём любые две точки (А и В), не важно, далеко ли они отстоят друг от друга или близко. Кривая находится сверху хорды – эта функция выпукла вверх (рис. 10).

Итак, мы дали общее определение функции, выпуклой вверх (вниз), и привели конкретные примеры.

Предыдущие примеры обладают тем свойством, что функция на всей области определения была выпукла вверх или выпукла вниз. Но так бывает не всегда. Вот функция . Рассмотрим её график – кубическая парабола. Значит, имеется одна выпуклость на множестве . На отрезке АВ функция выпукла вверх. А на другом множестве  точка С и D, отрезок (хорда), дуга (часть кривой) лежит ниже – функция выпукла вниз – рис. 11.

Таким образом, эта функция на одном участке выпукла вверх, а на другом – выпукла вниз.

Строгое доказательство выпуклости конкретных функций мы здесь не приводим. Ограничиваемся наглядно-интуитивными представлениями.

Следующее важное понятие – это непрерывность функции. При изучении функции часто бывает нужно охарактеризовать, насколько плавно меняется функция. Непрерывность – одно из свойств, которое характеризует плавность изменения функции. Дадим строгое определение.

Пусть  – числовая функция. Нарисуем её график (схематически) – рис. 12.

Итак, выберем произвольное действительное число  и рассмотрим прямую . И пусть график обладает следующим свойством: если точка А находится над прямой, то и все точки графика с достаточно близкими абсциссами тоже находятся над прямой. Если точка В находится под прямой, то все точки с достаточно близкими абсциссами тоже находятся под прямой (рис. 13).

Функция называется непрерывной, если она обладает указанным свойством для всех действительных Таково определение функции, непрерывной на данном множестве.

Приведём пример функции, которая не обладает указанным свойством.

Пусть . Для наглядности построим график этой функции.

При любом отрицательном  функция равна . Если аргумент равен функция равна , и для всех положительных аргументов функция равняется . Ниже видим график функции (рис. 14).

В точке 0 имеем нарушение указанных свойств. Возьмём, например, . Есть точка, которая находится над этой прямой, но не все точки с близкими абсциссами находятся над этой прямой. Если абсцисса отрицательна, то соответствующая точка графика находится под прямой. На всей области определения данная функция не является непрерывной. Ещё раз вернёмся к определению. Возьмём произвольное , любую точку А, если она находится над прямой, то все точки с достаточно близкими абсциссами находятся над прямой; если точка В находится под прямой, то все точки, с достаточно близкими абсциссами находятся тоже под прямой. Такие функции (с такими свойствами) для любых  называются непрерывными.

Иногда говорят, что функция непрерывна, если её график рисуется без отрыва карандаша (ручки) от листа бумаги. Ниже представлена непрерывная функция – её график можно нарисовать, не отрывая карандаш от листа бумаги (рис. 15).

График функции на рис. 16 нельзя нарисовать без отрыва карандаша. Дойдя до , нужно приподнять карандаш и нарисовать оставшуюся часть графика. Эта функция не является непрерывной (рис. 16).

Примем без доказательства следующее утверждение.

Если выражение  составлено из рациональных, иррациональных, тригонометрических выражений, то функция  будет непрерывна на естественной области определения.

Непрерывность функции лежит в основе метода интервалов для решения неравенств. Суть этого метода основана на следующем утверждении. Поясним его рисунком. Вот график функции (рис. 17).

Если функция, непрерывная на отрезке имеет на концах этого отрезка разные знаки, то на отрезке  существует хотя бы один корень данной функции. Функция в т.  отрицательная, в т.  функция положительная, функция непрерывна, значит, рисуя без отрыва график этой функции, мы хоть раз должны пересечь ось В данном случае имеем три корня (). Но теорема утверждает, что должен быть хотя бы один корень. Отсюда следует, что непрерывная функция может изменить знак только при переходе аргумента через корни функции или через точки разрыва и её области определения. В этой точке функция имеет положительный знак (рис. 18).

Значение функции положительное. Значит, на всём интервале функция положительна.

В этой точке функция отрицательная (рис. 19).

Значит, на всём интервале функция отрицательная. В этом и есть смысл метода интервалов. Он целиком и полностью основан на свойстве непрерывности функции.

Среди множества всех функций выделяют чётные функции и нечётные функции. Дадим определение. Пусть для всех  из области определения функции () выполнены следующие два условия.

1. Область определения симметрична относительно точки . Что это означает? Если функция существует  т. , то она существует и в т. . Если функция определена на отрезке, то на симметричном относительно 0 отрезке функция тоже определена. Значит, речь идёт о таких функциях: если . Это первое свойство. Если оно не выполнено, то чётностью или нечётностью функция не обладает.

2.  для всех  из области определения.

Итак, если функция обладает этими двумя свойствами, то она называется чётной. Если , то она называется нечётной.

Итак, мы дали определение чётной функции и нечётной функции.

Мы выяснили, что функция может быть чётной или нечётной. Далее мы рассмотрим очень важное свойство чётной функции и важное свойство нечётной функции.

Итак, рассмотрим сначала чётную функцию. В т.  функция определена, значение функции равно . Точка  – точка графика функции. В точке  функция тоже определена, но значение функции в этой точке такое же. Значит, точка с координатами  тоже лежит на графике функции. Значит, график чётной функции симметричен относительно оси  и можно изучить функцию при  и узнать свойство этой по функции по симметрии относительно Так дело обстоит с чётными функциями (рис. 20).

Свойство нечётных функций

В т.  функция определена, в т.  функция также определена. Значение функции в т. равняется , в т.  равняется , значит, эти точки симметричны относительно начала координат. График нечётной функции обладает симметрией относительно начала координат. (рис. 21).

Приведём примеры.

 – это примеры чётных функций. Например, парабола  – чётная функция, симметрия графика относительно оси

 – примеры нечётных функций. График функции ( – нечётная степень) симметричен относительно начала координат. Далее, график функции  – кубическая парабола, она нам тоже известна и симметрична относительно начала координат. Мы говорили, что эта функция нечётная. Теперь мы  умножим на  и разделим на :

.

Узнаем, функция чётная или нечётная. Во-первых, исследуем область определения: . Это означает невыполнение первого требования. В т. функция существует, в т. функция не существует. Значит, эта функция не обладает свойствами чётности или нечётности. Это функция общего вида. Как выглядит её график? Изначально это прямая , но теперь на прямой мы выкололи одну точку. Получается прямая с выколотой точкой (рис. 22).

Итак, мы рассмотрели примеры чётных функций, примеры нечётных функций и пример функции общего вида.

Список литературы

1. Мордкович А. Г. Алгебра и начала математического анализа. – М.: Мнемозина.

2. Муравин Г. К., Муравина О. В. Алгебра и начала математического анализа. – М.: Дрофа.

3. Колмогоров А. Н., Абрамов А. М., Дудницын Ю. П. и др. Алгебра и начала математического анализа. – М.: Просвещение.

Проверь себя

1. Найти корни функции .

2. Найти ОДЗ .

3. Определить поведение функции на интервалах: .

Полезные ссылки

1. Интернет-портал «uztest.ru».

2. Интернет-портал «math.fandom.com».

3. Интернет-портал «fizmat.by».