01. Числовые последовательности и их свойства. Предел числовой последовательности
02. Предел числовой последовательности. Сумма бесконечной геометрической прогрессии
03. Предел функции
04. Определение производной, её физический и геометрический смысл. Алгоритм нахождения производной
05. Примеры вычисления основных производных. Типовые задачи
06. Таблица производных. Типовые задачи
07. Правило дифференцирования. Типовые задачи
08. Дифференцирование функции y = f(kx + m)
09. Уравнение касательной к графику функции
10. Применение производной для исследования функций на монотонность и экстремумы
11. Применение производной для нахождения наибольшего и наименьшего значений непрерывной функции на промежутке
12. Исследование функции y = 3x⁵ − 5x³ + 2 с помощью производной
13. Исследование функции y = 3x⁵ − 5x³ + 2 без производной
14. Исследование функции, её график, сопутствующие задачи на примере функции f(x) = 3x⁵ − 5x³ + 2. Задача с параметром
15. Методика исследования функций на примере f(x) = x√(2-x)
16. Построение графика функции f(x) = x³ − 3x + 4 с помощью производной, сопутствующие задачи
17. Исследование функции y = (x³ − 4) : (x − 1)³ и сопутствующие задачи
18. Дифференцирование сложных функций. Задача из практики подготовки к ЕГЭ по математике
19. Планиметрические задачи на экстремум
20. Производная в задачах на прямоугольный параллелепипед
21. Приближённые вычисления
22. Задачи на расстояние от точки до кривой
23. Типовые задачи на производную с иррациональными функциями
24. Типовые задачи на производную с тригонометрическими функциями. Функция f(x) = cos²x − cos x
25. Типовые задачи на касательную
06. Таблица производных. Типовые задачи
Видео доступно по абонементу
Таблица производных
Дифференцирование функций «с нуля», т. е. исходя из определения производной и теории пределов – вещи достаточно трудоёмкая. Поэтому математики вычислили производные элементарных функций. Получилась таблица производных, где всё уже готово.
Производные некоторых элементарных функций:
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
Доказательство формулы
Дано:
Доказать:
Доказательство
Изобразим график функции: (см. Рис. 1). Зафиксируем точку и приращение аргумента. Получаем новое значение аргумента и, соответственно, новое значение функции. То есть при переходе от значения аргумента к значения функции изменяются соответственно от до . Значение функции в новой точке равно.
Получили прямоугольный треугольник (выделен красным цветом), катетами которого являются два приращения – приращение аргумента () и приращение функции (– разность между значением функции в новой точке и значением функции в старой точке).
Найдём отношение:
Умножим числитель и знаменатель на выражение:
В числителе получили выражение разности квадратов:
Следовательно:
Проанализируем данное выражение при:
– произвольное допустимое число, поэтому:
Что и требовалось доказать.
Задача 1
Дано:
Найти:
Решение
1. Найдём производную в любой точке:
2. Найдём производную в заданной точке:
Как известно, это значение является тангенсом угла наклона касательной к кривой, проведённой в точке с абсциссой 4 (см. Рис. 2):
Ответ:
Доказательство формулы (sinx )Ꞌ=cosx
Дано:
Доказать:
Доказательство
На рисунке 3 показано, каким образом ведёт себя функция. Зафиксируем точку и приращение аргумента. Получаем новое значение аргумента (новую точку). При переходе от значения аргумента к значения функции изменяются соответственно от до .
Найдём отношение:
Для упрощения этого выражения используем формулу разности синусов:
При:
Объясним это, рассмотрев тригонометрический круг с радиусом 1 и угол, равный (см. Рис. 4). Нам необходимо найти длину дуги и длину хорды.
Длина дуги равна произведению радиуса на центральный угол:
Радиус равен 1, поэтому длина дуги численно равна центральному углу, который равен. Следовательно:
Хорда состоит из двух катетов треугольников и, которые равны произведению гипотенузы (единица, так как это радиус) на синус противолежащего угла. Следовательно:
При длина дуги стремится к длине хорды:
То есть при маленьком угле дуга и хорда по длине неразличимы.
Таким образом, домножив выражение на 2, получаем выражение, которое есть отношение длины хорды к длине дуги:
Но так как, то:
Следовательно, при:
Поэтому:
Что и требовалось доказать.
Задача 2
Дано:
Найти:
Решение
1. Найдём производную в любой точке:
2. Найдём производную в заданной точке:
Ответ:.
Задача 3
Дано:
Найти: тангенс угла наклона касательной к кривой в точках: а); б); в)
Решение
На рисунке 5 показана иллюстрация к задаче. Изображена синусоида, к точке кривой с абсциссой проведена касательная, которая образует угол с осью. Тангенс данного угла необходимо найти. Также необходимо найти тангенс угла, который образовывается при пересечении оси абсцисс с касательной, проведённой к точке кривой с абсциссой 0 и .
Так как, то:
а) Для точки тангенс угла наклона касательной будет равен:
б) Для точки тангенс угла наклона касательной будет равен:
Следовательно, прямая, изображённая на рисунке 5, является касательной к синусоиде в точке 0.
в) Для точки, тангенс угла наклона касательной будет равен:
Следовательно, в этом случае касательная параллельна оси.
Ответ: а); б); в).
Список литературы
Алгебра и начала анализа, 10 класс (в двух частях). Учебник для общеобразовательных учреждений (профильный уровень) под ред. А.Г. Мордковича. – М.: Мнемозина, 2009.
Алгебра и начала анализа, 10 класс (в двух частях). Задачник для общеобразовательных учреждений (профильный уровень) под ред. А.Г. Мордковича. – М.: Мнемозина, 2007.
Виленкин Н.Я., Ивашев-Мусатов О.С., Шварцбурд С.И. Алгебра и математический анализ для 10 класса (учебное пособие для учащихся школ и классов с углубленным изучением математики) – М.: Просвещение, 1996.
А.Н. Колмогоров, А.М. Абрамов, Ю.П. Дудницын и др. Алгебра и начала анализа. Учеб. для 10-11 кл. – М.: Просвещение, 1990.
Домашнее задание
Задание 231, 232 (стр. 120) – А.Н. Колмогоров, А.М. Абрамов, Ю.П. Дудницын и др. Алгебра и начала анализа (см. список рекомендованной литературы).
Доказать формулу производной.
Доказать формулу производной.
Найти производную функции .
Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет
Интернет-портал «webmath.ru» (Источник).