04. Тангенс суммы и разности аргументов

Тангенс суммы

Пусть даны;Найти.

Решение

Введем ограничение:;и разделим все выражение на произведение косинусов:

Тангенс суммы аргументов

ОДЗ левой части:ОДЗ правой части:;;

То есть при применении данной формулы возможна потеря корней вида:

,;

, 

Рассмотрим частные случаи

1. Пусть один из косинусов равен нулю, например,

Тогда

Применив формулы приведения, получаем:

2. Пусть оба косинуса равны нулю:

,;

,

Тогда:

При замене правой части на левую происходит расширение ОДЗ, возникает опасность получения посторонних корней вида:

,;

,

Чтобы этого избежать, выполняем замену следующим образом:

Тангенс разности

Формулу тангенса разности аргументов можно получить несколькими способами. Можно вывести по аналогии с тангенсом суммы – тогда будет четко понятен момент искажения ОДЗ.

Но можно получить тангенс разности как частный случай тангенса суммы:

Согласно нечетности тангенса:

Тангенс разности аргументов

ОДЗ левой части:ОДЗ правой части:;;

По аналогии с тангенсом суммы можно расписать, как поступать при возникновении ситуаций, когда

,и/или,

Примеры на вычисление

Пример

Вычислить

Решение:

Избавимся от иррациональности в знаменателе:

Пример

Вычислить

Решение:

Пример

Вычислить

Решение

Типичная ошибка применения формулы

Пример

Вычислить, если

Типовая ошибка здесь в применении формулы тангенса суммы, несмотря на ОДЗ:

Ноне существует.

Верное решение:

Вывод: формулы тангенса суммы и разности аргументов можно применять только в том случае, когда тангенсы каждого из аргументов в отдельности существуют.

Второй вариант решения

Пример

Вычислить

Альтернативное решение:

По формулам приведения:

Из первого примера:

Тангенс и котангенс связаны соотношением:

Отсюда:

Решение уравнений и преобразование выражений

Вычислить.

Решение

Применим формулу тангенса разности аргументов. Здесь один из аргументов сложный, это:

Важно учесть ОДЗ – должен существоватьи:

,

ПримерНайти

Решение

Применим формулу тангенса суммы аргументов:

,,

ОДЗ:

Рассмотрим частный случай, когда;,:

Полученное равенство не соответствует условию.

Ответ: 

Пример

;; найти

Решение

Имеем право применить формулу тангенса суммы аргументов, так как тангенс каждого аргумента существует:

Решение более сложного уравнения с использованием формулы тангенса разности аргументов

Пример

Решение

По формуле тангенса разности аргументов:

Учтем ОДЗ:

,

Подставим найденное решение во второе выражение ОДЗ:

Получено несоответствие – в левой части выражения стоит ноль. Так, данное уравнение не имеет решений.

Нахождение угла между двумя произвольными прямыми

Дано:

Найти угол– см. рис. 1.

Мы знаем, что коэффициент передв уравнении наклонной прямой есть тангенс ее наклона к оси абсцисс:

;

Также мы знаем, что внешний угол треугольника равен сумме двух внутренних углов, не смежных с ним:

По формуле тангенса разности аргументов:

Подчеркнем: считаем, что

Угол между прямыми – это наименьший угол, образованный при их пересечении, поэтому ответ:

Рассмотрим частный случай, когда прямые перпендикулярны, см. рис. 2.

;

Что есть условие перпендикулярности прямых.

Пример

Найти, см. рис. 3.

;

Тангенсы угловисуществуют.

– прямые не перпендикулярны, и искомый тангенс существует. По формуле:

Вывод

Итак, мы вывели и изучили формулы тангенса суммы и разности двух аргументов, решили типовые примеры.

Список литературы

1. Алгебра и начала анализа, 10 класс (в двух частях). Учебник для общеобразовательных учреждений (профильный уровень) под ред. А.Г. Мордковича. – М.: Мнемозина, 2009.

2. Алгебра и начала анализа, 10 класс (в двух частях). Задачник  для общеобразовательных учреждений (профильный уровень) под ред. А.Г. Мордковича. – М.: Мнемозина, 2007.

3. Виленкин Н.Я., Ивашев-Мусатов О.С., Шварцбурд С.И. Алгебра и математический анализ для 10 класса (учебное пособие для учащихся школ и классов с углубленным изучением математики) – М.: Просвещение, 1996.

4. А.Н. Колмогоров, А.М. Абрамов, Ю.П. Дудницын и др. Алгебра и начала анализа. Учеб. для 10-11 кл. – М.: Просвещение, 1990.

Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

1. Интернет-портал «urokimatematiki.ru» (Источник).

Домашнее задание

1. Вычислить:  ; 

2. Найти, если;.

3. Вычислить: ;

4. Доказать тождество: