01. Числовые последовательности и их свойства. Предел числовой последовательности
02. Предел числовой последовательности. Сумма бесконечной геометрической прогрессии
03. Предел функции
04. Определение производной, её физический и геометрический смысл. Алгоритм нахождения производной
05. Примеры вычисления основных производных. Типовые задачи
06. Таблица производных. Типовые задачи
07. Правило дифференцирования. Типовые задачи
08. Дифференцирование функции y = f(kx + m)
09. Уравнение касательной к графику функции
10. Применение производной для исследования функций на монотонность и экстремумы
11. Применение производной для нахождения наибольшего и наименьшего значений непрерывной функции на промежутке
12. Исследование функции y = 3x⁵ − 5x³ + 2 с помощью производной
13. Исследование функции y = 3x⁵ − 5x³ + 2 без производной
14. Исследование функции, её график, сопутствующие задачи на примере функции f(x) = 3x⁵ − 5x³ + 2. Задача с параметром
15. Методика исследования функций на примере f(x) = x√(2-x)
16. Построение графика функции f(x) = x³ − 3x + 4 с помощью производной, сопутствующие задачи
17. Исследование функции y = (x³ − 4) : (x − 1)³ и сопутствующие задачи
18. Дифференцирование сложных функций. Задача из практики подготовки к ЕГЭ по математике
19. Планиметрические задачи на экстремум
20. Производная в задачах на прямоугольный параллелепипед
21. Приближённые вычисления
22. Задачи на расстояние от точки до кривой
23. Типовые задачи на производную с иррациональными функциями
24. Типовые задачи на производную с тригонометрическими функциями. Функция f(x) = cos²x − cos x
25. Типовые задачи на касательную
25. Типовые задачи на касательную
Видео доступно по абонементу
На уроке рассматривается ряд типовых задач на касательную, одной из разновидностей которых являются приближенные вычисления.
Уравнение касательной к графику функции в точке (см. рис. 1) имеет вид:
Угол наклона касательной связан с производной следующим образом:
. Уравнение касательной полностью определяется значением абсциссы , поэтому все задачи на касательную, сложные или несложные, связаны с тем, чтобы найти точку . Одним из типов задач на касательную являются приближенные вычисления. В окрестности точки значение функции в точке и значение ординаты касательной в точке отличаются на малую величину. На этом была основана вся теория приближённых вычислений.
Существуют многочисленные задачи на применение касательной.
Найти площадь треугольника, образованного осями координат и касательной к кривой
в точке . Проиллюстрировать решение на чертеже.
Решение.
Построим график функции . Найдём . Значит, в точке функция имеет минимум, в точке функция равна . График функции изображен на рис. 1.
Проведём в точке касательную, которая отсекает треугольник искомой площади (см. рис. 3).
1. Найдём уравнение касательной.
Для этого найдём . Тогда, – уравнение касательной.
2. Определим треугольник, площадь которого нужно найти:
При , ; при , .
Итак, получился прямоугольный треугольник, у которого известны катеты (см. рис. 4).
3. Найдём площадь треугольника: .
Ответ: .
Итак, одна из стандартных задач – найти площадь треугольника, образованного касательной и осями координат. Методика построения касательной – стандартная. Точка дана – это самый простой случай. Нужно просто было найти уравнение касательной, точки пересечения с осями, а потом – площадь треугольника.
На рисунке изображён график функции (см. рис. 4) и касательная к этому графику, проведённая в точке с абсциссой . Найти значение производной в точке , то есть .
Решение.
Знаем, что . Найдём тангенс дополнительного угла (см. рис. 4): .
Из рисунка видно, что , отсюда .
Ответ: .
Функция определена на промежутке . На рисунке изображён график её производной (см. рис. 5). К графику функции провели все касательные, параллельные прямой . Найти наименьшую из абсцисс точек, в которых проведены эти касательные.
Решение.
Поскольку дан график производной функции, то в каждой точке известен тангенс угла наклона касательной. Все касательные параллельны прямой , в которой – угловой коэффициент.
Значит, . Проведём прямую , и найдём точку с наименьшей абсциссой.
Важно понимать, что на графике изображена не сама функция, а её производная. Если дана производная, то известен тангенс угла наклона в каждой точке.
Ответ: .
Итак, мы рассмотрели типовые задачи на касательную. Прежде всего нужно уметь строить саму касательную, понимать смысл всех параметров, которые входят в уравнение касательной. Решили несколько типовых задач, в которых либо дан график касательной, либо график производной. Ключи к этим задачам лежат в тех опорных фактах, которые были сформулированы и повторены в начале урока.
Список рекомендованной литературы
Алгебра и начала анализа, 10 класс (в двух частях). Учебник для общеобразовательных учреждений (профильный уровень) под ред. А. Г. Мордковича. – М.: Мнемозина, 2009.
Алгебра и начала анализа, 10 класс (в двух частях). Задачник для общеобразовательных учреждений (профильный уровень) под ред. А. Г. Мордковича. – М.: Мнемозина, 2007.
Виленкин Н. Я., Ивашев-Мусатов О. С., Шварцбурд С. И. Алгебра и математический анализ для 10 класса (учебное пособие для учащихся школ и классов с углублённым изучением математики).- М.: Просвещение, 1996.
Галицкий М. Л., Мошкович М. М., Шварцбурд С. И. Углублённое изучение алгебры и математического анализа. - М.: Просвещение, 1997.
Сборник задач по математике для поступающих во ВТУЗы (под ред. М. И. Сканави). - М.: Высшая школа, 1992.
Мерзляк А. Г., Полонский В. Б., Якир М. С. Алгебраический тренажёр. - К.: А. С. К., 1997.
Звавич Л. И., Шляпочник Л. Я., Чинкина. Алгебра и начала анализа. 8-11 кл.: Пособие для школ и классов с углублённым изучением математики (дидактические материалы). - М.: Дрофа, 2002.
Саакян С. М., Гольдман А. М., Денисов Д. В. Задачи по алгебре и началам анализа (пособие для учащихся 10-11 классов общеобразов. учреждений). - М.: Просвещение, 2003.
Карп А. П. Сборник задач по алгебре и началам анализа : учеб. пособие для 10-11 кл. с углубл. изуч. математики. - М.: Просвещение, 2006.
Глейзер Г. И. История математики в школе. 9-10 классы (пособие для учителей). - М.: Просвещение, 1983.
Полезные ссылки
Проверь себя
№ 606, 607 (Саакян С. М., Гольдман А. М., Денисов Д. В. Задачи по алгебре и началам анализа (пособие для учащихся 10-11 классов общеобразов. учреждений). - М.: Просвещение, 2003.)