01. Числовые последовательности и их свойства. Предел числовой последовательности
17 мин
02. Предел числовой последовательности. Сумма бесконечной геометрической прогрессии
30 мин
03. Предел функции
19 мин
04. Определение производной, её физический и геометрический смысл. Алгоритм нахождения производной
22 мин
05. Примеры вычисления основных производных. Типовые задачи
19 мин
06. Таблица производных. Типовые задачи
28 мин
07. Правило дифференцирования. Типовые задачи
39 мин
08. Дифференцирование функции y = f(kx + m)
17 мин
09. Уравнение касательной к графику функции
21 мин
10. Применение производной для исследования функций на монотонность и экстремумы
25 мин
11. Применение производной для нахождения наибольшего и наименьшего значений непрерывной функции на промежутке
26 мин
12. Исследование функции y = 3x⁵ − 5x³ + 2 с помощью производной
16 мин
13. Исследование функции y = 3x⁵ − 5x³ + 2 без производной
19 мин
14. Исследование функции, её график, сопутствующие задачи на примере функции f(x) = 3x⁵ − 5x³ + 2. Задача с параметром
13 мин
15. Методика исследования функций на примере f(x) = x√(2-x)
11 мин
16. Построение графика функции f(x) = x³ − 3x + 4 с помощью производной, сопутствующие задачи
24 мин
17. Исследование функции y = (x³ − 4) : (x − 1)³ и сопутствующие задачи
23 мин
18. Дифференцирование сложных функций. Задача из практики подготовки к ЕГЭ по математике
35 мин
19. Планиметрические задачи на экстремум
28 мин
20. Производная в задачах на прямоугольный параллелепипед
23 мин
21. Приближённые вычисления
16 мин
22. Задачи на расстояние от точки до кривой
22 мин
23. Типовые задачи на производную с иррациональными функциями
24 мин
24. Типовые задачи на производную с тригонометрическими функциями. Функция f(x) = cos²x − cos x
16 мин
25. Типовые задачи на касательную
16 мин
25. Типовые задачи на касательную
Видео доступно по абонементу
На уроке рассматривается ряд типовых задач на касательную, одной из разновидностей которых являются приближенные вычисления.
Уравнение касательной к графику функции в точке (см. рис. 1) имеет вид:
Угол наклона касательной связан с производной следующим образом:
. Уравнение касательной полностью определяется значением абсциссы , поэтому все задачи на касательную, сложные или несложные, связаны с тем, чтобы найти точку . Одним из типов задач на касательную являются приближенные вычисления. В окрестности точки значение функции в точке и значение ординаты касательной в точке отличаются на малую величину. На этом была основана вся теория приближённых вычислений.
Существуют многочисленные задачи на применение касательной.
Найти площадь треугольника, образованного осями координат и касательной к кривой
в точке . Проиллюстрировать решение на чертеже.
Решение.
Построим график функции . Найдём . Значит, в точке функция имеет минимум, в точке функция равна . График функции изображен на рис. 1.
Проведём в точке касательную, которая отсекает треугольник искомой площади (см. рис. 3).
1. Найдём уравнение касательной.
Для этого найдём . Тогда, – уравнение касательной.
2. Определим треугольник, площадь которого нужно найти:
При , ; при , .
Итак, получился прямоугольный треугольник, у которого известны катеты (см. рис. 4).
3. Найдём площадь треугольника: .
Ответ: .
Итак, одна из стандартных задач – найти площадь треугольника, образованного касательной и осями координат. Методика построения касательной – стандартная. Точка дана – это самый простой случай. Нужно просто было найти уравнение касательной, точки пересечения с осями, а потом – площадь треугольника.
На рисунке изображён график функции (см. рис. 4) и касательная к этому графику, проведённая в точке с абсциссой . Найти значение производной в точке , то есть .
Решение.
Знаем, что . Найдём тангенс дополнительного угла (см. рис. 4): .
Из рисунка видно, что , отсюда .
Ответ: .
Функция определена на промежутке . На рисунке изображён график её производной (см. рис. 5). К графику функции провели все касательные, параллельные прямой . Найти наименьшую из абсцисс точек, в которых проведены эти касательные.
Решение.
Поскольку дан график производной функции, то в каждой точке известен тангенс угла наклона касательной. Все касательные параллельны прямой , в которой – угловой коэффициент.
Значит, . Проведём прямую , и найдём точку с наименьшей абсциссой.
Важно понимать, что на графике изображена не сама функция, а её производная. Если дана производная, то известен тангенс угла наклона в каждой точке.
Ответ: .
Итак, мы рассмотрели типовые задачи на касательную. Прежде всего нужно уметь строить саму касательную, понимать смысл всех параметров, которые входят в уравнение касательной. Решили несколько типовых задач, в которых либо дан график касательной, либо график производной. Ключи к этим задачам лежат в тех опорных фактах, которые были сформулированы и повторены в начале урока.
Список рекомендованной литературы
Алгебра и начала анализа, 10 класс (в двух частях). Учебник для общеобразовательных учреждений (профильный уровень) под ред. А. Г. Мордковича. – М.: Мнемозина, 2009.
Алгебра и начала анализа, 10 класс (в двух частях). Задачник для общеобразовательных учреждений (профильный уровень) под ред. А. Г. Мордковича. – М.: Мнемозина, 2007.
Виленкин Н. Я., Ивашев-Мусатов О. С., Шварцбурд С. И. Алгебра и математический анализ для 10 класса (учебное пособие для учащихся школ и классов с углублённым изучением математики).- М.: Просвещение, 1996.
Галицкий М. Л., Мошкович М. М., Шварцбурд С. И. Углублённое изучение алгебры и математического анализа. - М.: Просвещение, 1997.
Сборник задач по математике для поступающих во ВТУЗы (под ред. М. И. Сканави). - М.: Высшая школа, 1992.
Мерзляк А. Г., Полонский В. Б., Якир М. С. Алгебраический тренажёр. - К.: А. С. К., 1997.
Звавич Л. И., Шляпочник Л. Я., Чинкина. Алгебра и начала анализа. 8-11 кл.: Пособие для школ и классов с углублённым изучением математики (дидактические материалы). - М.: Дрофа, 2002.
Саакян С. М., Гольдман А. М., Денисов Д. В. Задачи по алгебре и началам анализа (пособие для учащихся 10-11 классов общеобразов. учреждений). - М.: Просвещение, 2003.
Карп А. П. Сборник задач по алгебре и началам анализа : учеб. пособие для 10-11 кл. с углубл. изуч. математики. - М.: Просвещение, 2006.
Глейзер Г. И. История математики в школе. 9-10 классы (пособие для учителей). - М.: Просвещение, 1983.
Полезные ссылки
Проверь себя
№ 606, 607 (Саакян С. М., Гольдман А. М., Денисов Д. В. Задачи по алгебре и началам анализа (пособие для учащихся 10-11 классов общеобразов. учреждений). - М.: Просвещение, 2003.)