01. Числовые последовательности и их свойства. Предел числовой последовательности
02. Предел числовой последовательности. Сумма бесконечной геометрической прогрессии
03. Предел функции
04. Определение производной, её физический и геометрический смысл. Алгоритм нахождения производной
05. Примеры вычисления основных производных. Типовые задачи
06. Таблица производных. Типовые задачи
07. Правило дифференцирования. Типовые задачи
08. Дифференцирование функции y = f(kx + m)
09. Уравнение касательной к графику функции
10. Применение производной для исследования функций на монотонность и экстремумы
11. Применение производной для нахождения наибольшего и наименьшего значений непрерывной функции на промежутке
12. Исследование функции y = 3x⁵ − 5x³ + 2 с помощью производной
13. Исследование функции y = 3x⁵ − 5x³ + 2 без производной
14. Исследование функции, её график, сопутствующие задачи на примере функции f(x) = 3x⁵ − 5x³ + 2. Задача с параметром
15. Методика исследования функций на примере f(x) = x√(2-x)
16. Построение графика функции f(x) = x³ − 3x + 4 с помощью производной, сопутствующие задачи
17. Исследование функции y = (x³ − 4) : (x − 1)³ и сопутствующие задачи
18. Дифференцирование сложных функций. Задача из практики подготовки к ЕГЭ по математике
19. Планиметрические задачи на экстремум
20. Производная в задачах на прямоугольный параллелепипед
21. Приближённые вычисления
22. Задачи на расстояние от точки до кривой
23. Типовые задачи на производную с иррациональными функциями
24. Типовые задачи на производную с тригонометрическими функциями. Функция f(x) = cos²x − cos x
25. Типовые задачи на касательную
23. Типовые задачи на производную с иррациональными функциями
Видео доступно по абонементу
На уроке по теме «Типовые задачи на производную с иррациональными функциями» повторяется техника дифференцирования на конкретном примере. Затем рассматривается ряд типовых задач на производную с иррациональными функциями, важнейшей из которых является задача на поиск экстремумов.
Важнейшие задачи на производную с иррациональными функциями – это задачи на экстремум. Прежде всего, нужно вспомнить технику дифференцирования.
Повторим её на следующем примере.
Дана функция . Найти .
Напомним, что .
.
– постоянная величина, так как в данном выражении нет переменной, а . Отсюда, .
Следующее действие – найти производную в конкретной точке.
. Таким образом, нашли производную в данной точке. Значит, первая типовая задача, есть там иррациональность или нет, решается стандартным образом. Если нужно найти производную в конкретной точке, ищем производную в любой точке , а потом подставляем нужное значение.
Построить график функции .
Сначала надо попытаться всё сделать без производной и понять эскиз графика функции.
1. Интервалы знакопостоянства функции.
.
Найдём корни (нули) функции: или .
Во всех точках области определения функция положительна, значит, график будет находиться над осью X (см. рис. 1).
Рис. 1. Интервалы знакопостоянства функции .
2. Построить график в окрестности каждого корня.
Функция в точке равна нулю. Справа и слева от точки функция положительна, значит, в точке функция имеет экстремум, производная должна это подтвердить. В точке функция тоже рана нулю. Значит, функция ведёт себя следующим образом (см. рис. 2):
Точек разрыва нет, и когда , то . Значит, график функции выглядит следующим образом (см. рис. 3):
Рис. 3. Схематический график функции при .
Построили эскиз графика функции.
3. Проведём исследование функции с помощью производной и выясним интервалы знакопостоянства производной.
.
Приравняем производную к нулю и найдём критические точки:
отсюда .
Оба значения принадлежат области определения.
Найдём интервалы знакопостоянства производной. Сделаем иллюстрацию (см. рис. 4):
Итак, – точка максимума, так как производная меняет знак с на (см. рис. 4). Найдём значение функции в этой точке: . Точка – точка минимума, так как производная меняет знак с на . Вычислим .
Таким образом, можем построить график функции (см. рис. 5).
Рис. 5. График функции .
Дано уравнение . Найти положительное значение параметра при котором уравнение имеет ровно два различных решения.
Решение.
Воспользуемся графиком функции (см. рис. 5). При уравнение имеет два различных корня, но по условию поэтому .
Ответ: .
Итак, мы рассмотрели функцию , где есть иррациональность, исследование и построение графика. Методика построения графика функции следующая: построить эскиз графика функции без использования производной (интервалы знакопостоянства функции, поведение функции в окрестности точек разрыва области определения, в окрестности корней и бесконечно удалённых точек). Потом исследование с помощью производной уточняет график функции.
Построить график функции .
Решение.
Эта функция иррациональная. Методику применяем ту же самую. Сначала попытаемся построить эскиз графика функции без производной.
.
Найдём нули функции.
или . Определим знак функции на каждом интервале (см. рис. 6).
Итак, знаем, что на промежутке график функции будет находиться над осью а на промежутке – под осью
Построим график функции в окрестности каждого корня (см. рис. 7).
Если , то . График идёт следующим образом (см. рис. 8):
Рис. 8. Эскиз графика функции .
Мы предполагаем, что на промежутке должен быть экстремум (см. рис. 8). На все вопросы даст ответ производная.
Проведём исследование функции с помощью производной.
.
Приравняем производную к нулю, получим:
, отсюда – единственная точка области определения функции, в которой производная равна нулю. Найдём интервалы знакопостоянства производной (см. рис. 9):
Осталось вычислить значение функции в точке .
.
Итак, координаты точки экстремума таковы: .
Рис. 10. График функции .
Если мы провели полное исследование функции и построили график, то на любые типовые вопросы, связанные с этой функцией, мы можем получить ответы.
Например, найти все значения параметра при которых уравнение не имеет решений.
Ответ: если уравнение не имеет решений, значит параметр не входит в множество значений функции (см. рис. 10).
Ответ: уравнение не имеет решений при всех .
Итак, мы рассмотрели типовые задачи на производную для тех функций, в которых присутствует иррациональность. Вспомнили, как дифференцируются такие функции, каким образом исследуются функции, и как строятся графики функций.
Список рекомендованной литературы
Алгебра и начала анализа, 10 класс (в двух частях). Учебник для общеобразовательных учреждений (профильный уровень) под ред. А. Г. Мордковича. –М.: Мнемозина, 2009.
Алгебра и начала анализа, 10 класс (в двух частях). Задачник для общеобразовательных учреждений (профильный уровень) под ред. А. Г. Мордковича. –М.: Мнемозина, 2007.
Виленкин Н. Я., Ивашев-Мусатов О. С., Шварцбурд С. И. Алгебра и математический анализ для 10 класса (учебное пособие для учащихся школ и классов с углубленным изучением математики).-М.: Просвещение, 1996.
Галицкий М. Л., Мошкович М. М., Шварцбурд С. И. Углублённое изучение алгебры и математического анализа.-М.: Просвещение, 1997.
Сборник задач по математике для поступающих во ВТУЗы (под ред. М. И. Сканави).-М.: Высшая школа, 1992.
Мерзляк А. Г., Полонский В. Б., Якир М. С. Алгебраический тренажёр.-К.: А. С. К., 1997.
Звавич Л. И., Шляпочник Л. Я., Чинкина. Алгебра и начала анализа. 8-11 кл.: Пособие для школ и классов с углублённым изучением математики (дидактические материалы).-М.: Дрофа, 2002.
Саакян С. М., Гольдман А. М., Денисов Д. В. Задачи по алгебре и началам анализа (пособие для учащихся 10-11 классов общеобразов. учреждений).-М.: Просвещение, 2003.
Карп А. П. Сборник задач по алгебре и началам анализа : учеб. пособие для 10-11 кл. с углубл. изуч. математики.-М.: Просвещение, 2006.
Глейзер Г. И. История математики в школе. 9-10 классы (пособие для учителей).-М.: Просвещение, 1983.
Полезные ссылки
Проверь себя
№ 45.9, 45.10 (Алгебра и начала анализа, 10 класс (в двух частях). Задачник для общеобразовательных учреждений (профильный уровень) под ред. А. Г. Мордковича. –М.: Мнемозина, 2007.)