23. Типовые задачи на производную с иррациональными функциями

На уроке по теме «Типовые задачи на производную с иррациональными функциями» повторяется техника дифференцирования на конкретном примере. Затем рассматривается ряд типовых задач на производную с иррациональными функциями, важнейшей из которых является задача на поиск экстремумов.

Важнейшие задачи на производную с иррациональными функциями – это задачи на экстремум. Прежде всего, нужно вспомнить технику дифференцирования.

Повторим её на следующем примере.

Дана функция . Найти .

Напомним, что .

.

 – постоянная величина, так как в данном выражении нет переменной, а . Отсюда, .

Следующее действие – найти производную в конкретной точке.

. Таким образом, нашли производную в данной точке. Значит, первая типовая задача, есть там иррациональность или нет, решается стандартным образом. Если нужно найти производную в конкретной точке, ищем производную в любой точке , а потом подставляем нужное значение.

Построить график функции .

Сначала надо попытаться всё сделать без производной и понять эскиз графика функции.

1. Интервалы знакопостоянства функции.

.

Найдём корни (нули) функции:  или .

Во всех точках области определения функция положительна, значит, график будет находиться над осью X (см. рис. 1).

Рис. 1. Интервалы знакопостоянства функции .

2. Построить график в окрестности каждого корня.

Функция в точке  равна нулю. Справа и слева от точки  функция положительна, значит, в точке  функция имеет экстремум, производная должна это подтвердить. В точке  функция тоже рана нулю. Значит, функция ведёт себя следующим образом (см. рис. 2):

Точек разрыва нет, и когда , то . Значит, график функции выглядит следующим образом (см. рис. 3):

Рис. 3. Схематический график функции при .

Построили эскиз графика функции.

3. Проведём исследование функции  с помощью производной и выясним интервалы знакопостоянства производной.

.

Приравняем производную к нулю и найдём критические точки:

  отсюда .

Оба значения  принадлежат области определения.

Найдём интервалы знакопостоянства производной. Сделаем иллюстрацию (см. рис. 4):

Итак, – точка максимума, так как производная меняет знак с на (см. рис. 4). Найдём значение функции в этой точке: . Точка – точка минимума, так как производная меняет знак с на . Вычислим .

Таким образом, можем построить график функции  (см. рис. 5).

Рис. 5. График функции .

Дано уравнение . Найти положительное значение параметра при котором уравнение  имеет ровно два различных решения.

Решение.

Воспользуемся графиком функции  (см. рис. 5). При  уравнение имеет два различных корня, но по условию  поэтому .

Ответ: .

Итак, мы рассмотрели  функцию , где есть иррациональность, исследование и построение графика. Методика построения графика функции следующая: построить эскиз графика функции без использования производной (интервалы знакопостоянства функции, поведение функции в окрестности точек разрыва области определения, в окрестности корней и бесконечно удалённых точек). Потом исследование с помощью производной уточняет график функции.

Построить график функции .

Решение.

Эта функция иррациональная. Методику применяем ту же самую. Сначала попытаемся построить эскиз графика функции без производной.

.

Найдём нули функции.

 или . Определим знак функции на каждом интервале (см. рис. 6).

Итак, знаем, что на промежутке  график функции будет находиться над осью а на промежутке  – под осью

Построим график функции в окрестности каждого корня (см. рис. 7).

Если , то . График идёт следующим образом (см. рис. 8):

Рис. 8. Эскиз графика функции .

Мы предполагаем, что на промежутке  должен быть экстремум (см. рис. 8). На все вопросы даст ответ производная.

Проведём исследование функции с помощью производной.

.

Приравняем производную к нулю, получим:

, отсюда  – единственная точка области определения функции, в которой производная равна нулю. Найдём интервалы знакопостоянства производной (см. рис. 9):

Осталось вычислить значение функции в точке .

.

Итак, координаты точки экстремума таковы: .

Рис. 10. График функции .

Если мы провели полное исследование функции и построили график, то на любые типовые вопросы, связанные с этой функцией, мы можем получить ответы.

Например, найти все значения параметра при которых уравнение  не имеет решений.

Ответ: если уравнение не имеет решений, значит параметр  не входит в множество значений функции (см. рис. 10).

Ответ: уравнение  не имеет решений при всех .

Итак, мы рассмотрели типовые задачи на производную для тех функций, в которых присутствует иррациональность. Вспомнили, как дифференцируются такие функции, каким образом исследуются функции, и как строятся графики функций.

Список рекомендованной литературы

1. Алгебра и начала анализа, 10 класс (в двух частях). Учебник для общеобразовательных учреждений (профильный уровень) под ред. А. Г. Мордковича. –М.: Мнемозина, 2009.

2. Алгебра и начала анализа, 10 класс (в двух частях). Задачник  для общеобразовательных учреждений (профильный уровень) под ред. А. Г. Мордковича. –М.: Мнемозина, 2007.

3. Виленкин Н. Я., Ивашев-Мусатов О. С., Шварцбурд С. И. Алгебра и математический анализ для 10 класса (учебное пособие для учащихся школ и классов с углубленным изучением математики).-М.: Просвещение, 1996.

4. Галицкий М. Л., Мошкович М. М., Шварцбурд С. И. Углублённое изучение алгебры и математического анализа.-М.: Просвещение, 1997.

5. Сборник задач по математике для поступающих во ВТУЗы (под ред. М. И. Сканави).-М.: Высшая школа, 1992.

6. Мерзляк А. Г., Полонский В. Б., Якир М. С. Алгебраический тренажёр.-К.: А. С. К., 1997.

7. Звавич Л. И., Шляпочник Л. Я., Чинкина. Алгебра и начала анализа. 8-11 кл.: Пособие для школ и классов с углублённым изучением математики (дидактические материалы).-М.: Дрофа, 2002.

8. Саакян С. М., Гольдман А. М., Денисов Д. В. Задачи по алгебре и началам анализа (пособие для учащихся 10-11 классов общеобразов. учреждений).-М.: Просвещение, 2003.

9. Карп А. П. Сборник задач по алгебре и началам анализа : учеб. пособие для 10-11 кл. с углубл. изуч. математики.-М.: Просвещение, 2006.

10. Глейзер Г. И. История математики в школе. 9-10 классы (пособие для учителей).-М.: Просвещение, 1983.

Полезные ссылки

1. Интернет-портал «mathematics.ru».

Проверь себя

1. № 45.9, 45.10 (Алгебра и начала анализа, 10 класс (в двух частях). Задачник  для общеобразовательных учреждений (профильный уровень) под ред. А. Г. Мордковича. –М.: Мнемозина, 2007.)