08. Тригонометрические функции числового аргумента (типовые задачи)

Тема урока, введение

На прошлом уроке мы вспомнили, как вводятся тригонометрические функции, каковы связи между ними и их свойства. Используем эти знания для решения задач.

Решение вычислительных задач

Задача 1.  Дано значение синуса некоторого угла , .

Найти , , .

Решение.

Отметим на оси синусов число . Ему соответствуют две точки. Но нашему условию удовлетворяет только точка в первой четверти (рис. 1).

Воспользуемся основным тригонометрическим тождеством: синус квадрат плюс косинус квадрат одного и того же угла равен единице.

;

;

.

По условию точка  находится в первой четверти, где , значит .

; .

Ответ: ; ; .

Задача 2. Задана функция , .

Найти , , .

Решение:

Отметим на оси тангенсов число . Ему соответствуют две точки. Условию удовлетворяет только точка из второй четверти (рис. 2).

;

Чтобы вычислить , воспользуемся формулой, связывающей  и . Вспомним также, как она получается из основного тригонометрического тождества.

;

;

;

;

.

Точка  находится во второй четверти, где , значит .

;

;

.

Во второй четверти , значит .

Ответ: ; ; .

Доказательство тождества

Задача 3. Докажите тождество:

.

Доказательство:

;

;

;

.

Тождество доказано.

Решение задачи на наибольшее и наименьшее значения функции

Задача 4. Найти наибольшее значения функции

.

Решение:

;

;

;

.

Теперь определим, в каких пределах меняется значение функции.

;

;

т.к. 

;

.

Ответ: .

Вывод, заключение

Мы рассмотрели некоторые типовые задачи, а также задачу повышенной сложности. Все они решаются с помощью тригонометрических тождеств и свойств тригонометрических функций, которые будут использоваться для решения задач и в дальнейшем.

Список литературы

1. Алгебра и начала анализа, 10 класс (в двух частях). Учебник для общеобразовательных учреждений (профильный уровень) под ред. А. Г. Мордковича. –М.: Мнемозина, 2009.

2. Алгебра и начала анализа, 10 класс (в двух частях). Задачник  для общеобразовательных учреждений (профильный уровень) под ред. А. Г. Мордковича. –М.: Мнемозина, 2007.

3. Виленкин Н.Я., Ивашев-Мусатов О.С., Шварцбурд С.И. Алгебра и математический анализ для 10 класса (учебное пособие для учащихся школ и классов с углубленным изучением математики).-М.: Просвещение, 1996.

4. Галицкий М.Л., Мошкович М.М., Шварцбурд С.И. Углубленное изучение алгебры и математического анализа.-М.: Просвещение, 1997.

5. Сборник задач по математике для поступающих во ВТУЗы (под ред. М.И.Сканави).-М.:Высшая школа, 1992.

6. Мерзляк А.Г., Полонский В.Б., Якир М.С. Алгебраический тренажер.-К.: А.С.К., 1997.

7. Саакян С.М., Гольдман А.М., Денисов Д.В. Задачи по алгебре и началам анализа (пособие для учащихся 10-11 классов общеобразов. учреждений).-М.: Просвещение, 2003.

8. Карп А.П. Сборник задач по алгебре и началам анализа : учеб. пособие для 10-11 кл. с углубл. изуч. математики.-М.: Просвещение, 2006.

Домашнее задание

Алгебра и начала анализа, 10 класс (в двух частях). Задачник  для общеобразовательных учреждений (профильный уровень) под ред.

А. Г. Мордковича. –М.: Мнемозина, 2007.

№№ 14.14(а), 14.15(а), 14.16(а), 14.17(а), 14.34.

Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

1. Интернет-портал «problems.ru» (Источник).

2. Образовательный портал для подготовки к экзаменам (Источник).