07. Тригонометрические функции числового аргумента

Тема урока, введение

Мы рассматриваем тригонометрические функции

Напоминание: определение тригонометрических функций

Любая функция – это закон, по которому каждому значению независимой переменной соответствует единственное значение зависимой переменной – функции.

Мы задаем число ему соответствует точка на окружности c двумя координатами – точка (рис. 1).

Отрезок на оси x от -1 до 1 называется линией косинусов.

Отрезок на оси y от -1 до 1 называется линией синусов.

Отсюда следуют свойства синуса и косинуса:

Линия тангенсов параллельна оси y и проходит через точку 

Линия котангенсов параллельна оси x и проходит через точку 

Основные тригонометрические формулы

Рассмотрим основные тригонометрические тождества.

 уравнение единичной окружности.

основное тригонометрическое тождество.

 связь между тангенсом и котангенсом. 

Выведем формулу, связывающую тангенс и косинус.

Аналогичная формула есть для котангенса и синуса.

Четность тригонометрических функций

Исследуем тригонометрические функции на четность.

функция нечетна.

функция четна.

Проиллюстрируем эти свойства на числовой окружности:

Пример 1. Найти

Решение (рис. 2).

Докажем аналогичные свойства для тангенса и котангенса:

 тангенс – нечетная функция.

доказать самостоятельно.

Знаки тригонометрических функций в четвертях

Рассмотрим знаки тригонометрических функций в четвертях:

Знаки синуса и косинуса (рис. 3).

Однако определять знаки синуса и косинуса можно и без этих рисунков.

Например, нужно определить знак Определяем, в какой четверти находится угол во второй. Синус – это проекция на ось y, во второй четверти, значит

Аналогично косинусы. Определим знак Угол находится в третьей четверти, косинус – это проекция на ось x, в третьей четверти, значит

Знаки тангенса и котангенса (рис. 4).

Проверить знаки функций в различных четвертях можно по линиям тангенсов и котангенсов. Например, возьмем угол, лежащий в третьей четверти. Через точку на окружности, соответствующую этому углу, и начало координат проведем прямую до пересечения с осью тангенсов. Значение тангенса для такого угла, также как для угла первой четверти, будет положительным. Аналогично для углов второй и четвертой четверти тангенс будет отрицательным (рис. 5).

Вывод, заключение

Мы рассмотрели тригонометрические функции, вспомнили их определения, вспомнили, что они удовлетворяют требованиям однозначности, получили основные тождества и свойства. На следующем уроке мы решим ряд задач.

Список литературы

1. Алгебра и начала анализа, 10 класс (в двух частях). Учебник для общеобразовательных учреждений (профильный уровень) под ред. А. Г. Мордковича. –М.: Мнемозина, 2009.

2. Алгебра и начала анализа, 10 класс (в двух частях). Задачник  для общеобразовательных учреждений (профильный уровень) под ред. А. Г. Мордковича. –М.: Мнемозина, 2007.

3. Виленкин Н.Я., Ивашев-Мусатов О.С., Шварцбурд С.И. Алгебра и математический анализ для 10 класса (учебное пособие для учащихся школ и классов с углубленным изучением математики).-М.: Просвещение, 1996.

4. Галицкий М.Л., Мошкович М.М., Шварцбурд С.И. Углубленное изучение алгебры и математического анализа.-М.: Просвещение, 1997.

5. Сборник задач по математике для поступающих во ВТУЗы (под ред. М.И.Сканави).-М.:Высшая школа, 1992.

6. Мерзляк А.Г., Полонский В.Б., Якир М.С. Алгебраический тренажер.-К.: А.С.К., 1997.

7. Саакян С.М., Гольдман А.М., Денисов Д.В. Задачи по алгебре и началам анализа (пособие для учащихся 10-11 классов общеобразов. учреждений).-М.: Просвещение, 2003.

8. Карп А.П. Сборник задач по алгебре и началам анализа : учеб. пособие для 10-11 кл. с углубл. изуч. математики.-М.: Просвещение, 2006.

Домашнее задание

Алгебра и начала анализа, 10 класс (в двух частях). Задачник  для общеобразовательных учреждений (профильный уровень) под ред. А. Г. Мордковича. –М.: Мнемозина, 2007.

№№ 14.1 – 14.5, 14.8.

Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

1. Интернет-портал «problems.ru» (Источник).

2. Образовательный портал для подготовки к экзаменам (Источник).