10. Тригонометрические функции углового аргумента и типовые задачи

Тема урока, введение

Ранее мы рассматривали определение тригонометрических функций на числовойокружности.

На прошлом уроке мы рассмотрели одну из ситуаций, когда пришлось ввести тригонометрические функции углового аргумента. Вспомним эту задачу:

[00:00:492. Напоминание: возникновение тригонометрических функций]

Наблюдателю нужно измерить высоту дерева, не залезая на него (рис. 1).

Наблюдатель может измерить угол  и расстояние до подножия дерева .

Этих данных достаточно, чтобы определить все неизвестные величины.

Вспомним, что тригонометрические функции в прямоугольном треугольнике – это отношения сторон треугольника:

; ; ; ;

;

.

Мы вспомнили, как определяются тригонометрические функции, приступим к решению задач.

Решение задач

Задача 1. В прямоугольном треугольнике известна гипотенуза  и острый угол . Найти катеты, площадь треугольника и радиус описанной окружности, если , .

Решение:

Заметим, что  полностью задан – известна гипотенуза и острый угол  (рис. 2).

Мы можем вычислить любой элемент треугольника:

;

;

;

;

;

Если мы забыли формулу радиуса описанной окружности, можно достроить треугольник до прямоугольника, описать окружность и сразу станет ясно, что центр описанной окружности находится в середине гипотенузы и радиус описанной окружности равен половине гипотенузы (рис. 3).

.

Ответ: ; ; ; .

Задача 2. Хорда  окружности образует с диаметром  угол . Найдите длину хорды , если радиус окружности равен .

Дано: ;

Ð.

Найти: .

Решение:

Рассмотрим . Ð опирается на диаметр, значит он прямой (по теореме о вписанном угле). Р(рис. 4).

Имеем прямоугольный треугольник с известным углом  и известной гипотенузой.

.

Ответ: .

Задача 3. Докажите, что площадь выпуклого четырёхугольника равна половине произведения его диагоналей на синус угла между ними.

Дано: - выпуклый четырёхугольник.

Доказать: .

Доказательство:

Вспомним, что такое выпуклый четырехугольник. Это четырёхугольник, который  лежит в одной полуплоскости относительно каждой прямой, содержащей его сторону (рис. 5).

- выпуклый четырёхугольник; , - его диагонали; -  высота в ; - высота в .

;

; .

Вычислим и  через .

;

;

.

Тождество доказано.

Рассмотрим частный случай, когда диагонали четырехугольника перпендикулярны  и  (рис. 6).

Если , то - высота в , - высота в .

.

Угол между диагоналями равен , , тождество доказано.

Задача 4. Для угла  вычислить , , , .

Решение:

; .

;

;

- не существует;

.

Задача 5. Расположите в порядке возрастания числа ; ; ; .

Решение:

Решим данную задачу с помощью числовой окружности путем сравнения с эталонными углами (рис. 8).

Ответ: .

Вывод, заключение

Мы еще раз вспомнили определения тригонометрических функций углового аргумента, основные правила нахождения неизвестных элементов прямоугольного треугольника с использованием тригонометрических функций, использовали их при решении конкретных геометрических задач. На следующих уроках мы изучим формулы приведения и свойства тригонометрических функций.

Список литературы

1. Алгебра и начала анализа, 10 класс (в двух частях). Учебник для общеобразовательных учреждений (профильный уровень) под ред. А. Г. Мордковича. –М.: Мнемозина, 2009.

2. Алгебра и начала анализа, 10 класс (в двух частях). Задачник  для общеобразовательных учреждений (профильный уровень) под ред. А. Г. Мордковича. –М.: Мнемозина, 2007.

3. Виленкин Н.Я., Ивашев-Мусатов О.С., Шварцбурд С.И. Алгебра и математический анализ для 10 класса (учебное пособие для учащихся школ и классов с углубленным изучением математики).-М.: Просвещение, 1996.

4. Галицкий М.Л., Мошкович М.М., Шварцбурд С.И. Углубленное изучение алгебры и математического анализа.-М.: Просвещение, 1997.

5. Сборник задач по математике для поступающих во ВТУЗы (под ред. М.И.Сканави).-М.:Высшая школа, 1992.

6. Мерзляк А.Г., Полонский В.Б., Якир М.С. Алгебраический тренажер.-К.: А.С.К., 1997.

7. Саакян С.М., Гольдман А.М., Денисов Д.В. Задачи по алгебре и началам анализа (пособие для учащихся 10-11 классов общеобразов. учреждений).-М.: Просвещение, 2003.

8. Карп А.П. Сборник задач по алгебре и началам анализа : учеб. пособие для 10-11 кл. с углубл. изуч. математики.-М.: Просвещение, 2006.

Домашнее задание

Алгебра и начала анализа, 10 класс (в двух частях). Задачник  для общеобразовательных учреждений (профильный уровень) под ред. А. Г. Мордковича. –М.: Мнемозина, 2007.

№№15.7, 15.8, 15.11 – 15.14.

Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

1. Интернет-портал «problems.ru» (Источник).

2. Образовательный портал для подготовки к экзаменам (Источник).