01. Введение. Длина дуги окружности
02. Числовая окружность
22 мин
03. Числовая окружность на координатной плоскости
04. Решение задач по теме «Числовая окружность на координатной плоскости»
05. Синус и косинус
06. Тангенс и котангенс
26 мин
07. Тригонометрические функции числового аргумента
17 мин
08. Тригонометрические функции числового аргумента (типовые задачи)
09. Тригонометрические функции углового аргумента
15 мин
10. Тригонометрические функции углового аргумента и типовые задачи
11. Формулы приведения
12. Формулы приведения и решение типовых задач
13. Функция y = sin x, её основные свойства и график
14. Функция y = sin x, её свойства, график и типовые задачи
15. Функция y = cos t, её основные свойства и график
16. Функция y = cos t, её свойства, график и типовые задачи
17. Периодичность функций y = sin t, y = cos t
18. Как построить график функции y = m · f(x), если известен график функции y= f(x)
19. Как построить график функции y = f(kx), если известен график функции y = f(x)
20. Как построить график функции y = f(kx), если известен график функции y = f(x). Примеры построения
21. График гармонического колебания
22. Функция y = tg x, её свойства и график
23. Функция y = сtg x, её свойства и график
09. Тригонометрические функции углового аргумента
Видео доступно по абонементу
Тема урока, введение
Мы изучали тригонометрические функции числового аргумента Но аргументомможет быть и угол.
Возникновение тригонометрических функций: задача о дереве
Полезно вспомнить, откуда взялась необходимость введения новых терминов – синуса, косинуса, тангенса и котангенса.
Задача.
a) Необходимо вычислить высоту дерева, не залезая на него.
Решение:
Рассмотрим . Наблюдатель из точки может измерить длину катета может измерить угол может выставить уменьшенное дерево известной высоты (рис. 1).
Обозначим искомую высоту дерева .
Рассмотрим и .
;
;
.
Отношение зависит только от величины угла, и это отношение назвали тангенсом угла .
.
Ответ: .
b) Найти расстояние до недоступной вершины
Решение:
Обозначим искомое расстояние за Это гипотенуза . В обозначим гипотенузу (рис. 1).
Из подобия и следует, что ;
.
Отношение зависит только от величины угла это отношение назвали косинусом угла .
.
Ответ: .
Мы нашли высоту дерева и расстояние от наблюдателя до вершины дерева, не залезая на него. Но для этого потребовалось ввести некоторые величины, которые зависят только от величины угла и определяют его. Это тангенс и косинус этого угла.
Введение тригонометрических функций в прямоугольном треугольнике
Вспомним, как вводятся все тригонометрические функции в прямоугольном треугольнике (рис. 2).
Из определения следует важное правило для нахождения неизвестных элементов
Связь между числовым и угловым аргументом
Ранее мы изучали тригонометрические функции числового аргумента. Покажем, что между числовым и угловым аргументом нет никакого противоречия.
Рассмотрим единичную окружность в координатной плоскости.
Зададим произвольное число и получим единственную точку
Точкаимеет две координаты:
Координатуназвали косинусом числакоординату синусом числа
(рис. 3).
.
Покажем связь между углом и числовым аргументом Угол можно измерять в градусах и радианах. Мы будем измерять в радианах. Тогда действует формула:
.
.
Уголвыраженный в радианах, можно рассматривать как геометрическую интерпретацию числового аргумента
Рассмотрим
Они подобны как прямоугольные с одинаковым углом(рис. 3).
.
Из подобия треугольников также следует, что
.
Рассмотрим еще одно подобие, из которого найдем, что касательная, проходящая через точку P, может называться линией тангенсов (рис. 4).
Из
Рассмотрим подобиеи (рис. 5).
касательная к окружности в т.
как прямоугольные, имеющие одинаковый угол иравны как накрест лежащие при параллельных прямых
Из
линия котангенсов.
Вывод, заключение
Мы рассмотрели тригонометрические функции углового аргумента. Вспомнили истоки появления новых терминов – синуса, косинуса, тангенса, котангенса, и рассмотрели связь между числовым и угловым аргументом.
Список литературы
Алгебра и начала анализа, 10 класс (в двух частях). Учебник для общеобразовательных учреждений (профильный уровень) под ред. А. Г. Мордковича. –М.: Мнемозина, 2009.
Алгебра и начала анализа, 10 класс (в двух частях). Задачник для общеобразовательных учреждений (профильный уровень) под ред. А. Г. Мордковича. –М.: Мнемозина, 2007.
Виленкин Н.Я., Ивашев-Мусатов О.С., Шварцбурд С.И. Алгебра и математический анализ для 10 класса (учебное пособие для учащихся школ и классов с углубленным изучением математики).-М.: Просвещение, 1996.
Галицкий М.Л., Мошкович М.М., Шварцбурд С.И. Углубленное изучение алгебры и математического анализа.-М.: Просвещение, 1997.
Сборник задач по математике для поступающих во ВТУЗы (под ред. М.И.Сканави).-М.:Высшая школа, 1992.
Мерзляк А.Г., Полонский В.Б., Якир М.С. Алгебраический тренажер.-К.: А.С.К., 1997.
Саакян С.М., Гольдман А.М., Денисов Д.В. Задачи по алгебре и началам анализа (пособие для учащихся 10-11 классов общеобразов. учреждений).-М.: Просвещение, 2003.
Карп А.П. Сборник задач по алгебре и началам анализа : учеб. пособие для 10-11 кл. с углубл. изуч. математики.-М.: Просвещение, 2006.
Полезные ссылки
Проверьте себя
Алгебра и начала анализа, 10 класс (в двух частях). Задачник для общеобразовательных учреждений (профильный уровень) под ред. А. Г. Мордковича. –М.: Мнемозина, 2007.
№№ 15.5, 15.6, 15.10.
"