01. Тригонометрические выражения. Профильный уровень

Тригонометрические функции углов

В жизни мы описываем не только объекты, но и отношения между ними: например, дружба, любовь – на них не укажешь пальцем, однако мы не только говорим про них, но и изучаем (целые романы посвящены отношениям между людьми).

В математике отношение объектов тоже является объектом для изучения. Так, функция – это отношение двух множеств (соответствие между их элементами) (см. рис. 1).

Угол на плоскости можно рассматривать как отношение между двумя прямыми (см. рис. 2). При этом стороны угла могут быть не ограничены лучами или конечными отрезками, но его величина меняться не будет – это важное свойство, которое мы можем использовать при измерении.

Другое важное свойство – это ограниченность угла. Если отрезок можно взять сколь угодно большой длины, то угол ограничен полным кругом (см. рис. 3).

Именно на этом основана идея измерения углов в градусах: максимальный угол делим на некоторое количество одинаковых частей (договорились, что их будет ), тогда величина угла будет равна количеству таких единиц (градусов), которые в него вмещаются (см. рис. 4).

Но такой способ измерения не всегда удобен. Треугольник однозначно задается тремя своими сторонами. Значит, углы можно связать с длинами. Это позволит решать разные задачи: например, зная длины отрезков, находить углы и наоборот.

Вспомним, что угол не зависит от длины своих сторон. Если рассмотреть прямоугольные треугольники с острыми углами , то все такие треугольники будут подобны (см. рис. 5).

То есть отношение длин их соответствующих сторон будет одинаковым:

Более того, если взять треугольник с другим острым углом, то такие отношения будут отличаться. Получаем, что острый угол прямоугольного треугольника однозначно задает отношение длин его сторон, и наоборот. То есть можно ввести различные функции острого угла, что мы уже и сделали на уроках геометрии 8-го класса.

Всего можно выделить 6 различных соотношений, каждое из которых имеет свое название (см. рис. 6):

1. синус – отношение противолежащего данному углу катета к гипотенузе: 

2. косинус – отношение прилежащего к данному углу катета к гипотенузе: 

3. тангенс – отношение противолежащего данному углу катета к прилежащему катету: 

4. котангенс – отношение прилежащего к данному углу катета к противолежащему катету: 

5. секанс – отношение гипотенузы к катету, прилежащему к данному углу: 

6. косеканс – отношение гипотенузы к катету, противолежащему данному углу: 

На самом деле, чтобы связать угол и длины сторон прямоугольного треугольника, нам достаточно всего одной функции, например, синуса. По известному синусу можно восстановить значения всех остальных функций (мы тренировались это делать с использованием основных тригонометрических тождеств). Поэтому можно было бы выразить все остальные соотношения длин сторон прямоугольного треугольника через синус. Но эти формулы получаются довольно громоздкими, а тригонометрические функции очень часто встречаются при решении различных задач, поэтому всем им дали отдельные названия и для каждой исследовали свойства. Правда, это не касается секанса и косеканса – они встречаются редко и легко выражаются через синус и косинус. По этой же причине иногда отдельно не выделяют свойства котангенса – это просто обратное значение тангенса. В дальнейшем мы в основном будем рассматривать синус, косинус, тангенс и иногда котангенс.

Подчеркнем еще одно важное свойство – так как значение синуса не зависит от длин сторон, то можно его посчитать один раз для конкретного треугольника, а затем использовать полученное значение для данного угла в любом треугольнике. Раньше для этих целей составляли специальные таблицы (самая известная – таблица Брадиса (см. рис. 7)), сейчас в любом телефоне значение тригонометрических функций любого угла можно посчитать на калькуляторе (правда для этого используются более сложные алгоритмы, связанные с представлениями этих функций в виде многочленов, но в школьном курсе мы это рассматривать не будем).

Взаимосвязь тригонометрических функций

Вспомним, как связаны между собой тригонометрические функции:

Это основные соотношения, из них можно вывести и другие:

Тригонометрические функции от 0° до 360°

Мы ввели тригонометрические функции только для острых углов, но для решения геометрических задач этого недостаточно. Можно расширить понятие тригонометрических функций для произвольных углов – от нулевого до развернутого (). Это удобно сделать с помощью единичной окружности – окружности с центром в начале координат и радиусом (см. рис. 8).

Рассмотрим точку на окружности , лежащую в первой четверти (см. рис. 9). Ее координаты зависят от острого угла , отложенного от положительного направления оси  против часовой стрелки (мы будем откладывать угол против часовой стрелки – это договоренность, можно было бы двигаться и по часовой стрелке). Рассмотрев прямоугольный треугольник, получим, что абсцисса точки  равна косинусу угла ; ордината равна синусу угла (см. рис. 9).

При расширении инструмента важно, чтобы новое определение не противоречило старому, поэтому расширим полученный результат для произвольного положения точки. Косинусом и синусом угла  будем называть координаты  и  точки .

При этом, чтобы сохранить рассмотренные ранее соотношения для тригонометрических функций, мы определим тангенс и котангенс так:

Обратите внимание, что для острых углов по значению любой из тригонометрических функций можно было однозначно восстановить значения всех остальных, используя основные тригонометрические тождества. Для произвольных углов это уже не так. К примеру, если синус угла равен , то косинус угла может равняться как , так и  (чтобы сумма их квадратов равнялась ).

Таким образом, зная, что угол острый, мы имели дополнительную информацию, хотя могло показаться, что мы ее и не используем. Теперь же, чтобы однозначно восстановить все тригонометрические функции по значению одной, нужно еще указать четверть, в которой находится точка , то есть нужна дополнительная информация. Подробнее об этом мы поговорим на практическом занятии.

Расширение понятия «угол»

В геометрии мы определили понятие угла так: это часть плоскости между двумя лучами, проведенными из одной точки. Это накладывает ограничения на величину угла: минимальный – это нулевой угол (), максимальный – полный (). Но термин «угол» можно встретить не только в геометрии. Например, мы можем сказать об угле поворота.

Так, выполняя команду «Направо», солдат поворачивается на ; выполняя команду кругом – на . Фигуристка в прыжке может сделать  полный оборот – повернуться на . Пока что мы не выходили за рамки геометрического понятия угла. Все указанные углы можно изобразить так: до и после поворота рисуем лучи вдоль линии зрения (см. рис. 10).

Но как нарисовать угол поворота, если фигуристка сделала полтора оборота? Как раньше нарисовать не получится – полученный угол ничем не будет отличаться от угла, соответствующего половине оборота, то есть  (см. рис. 11). Более того, и углы в ;  и т.д. оборота будут на рисунке выглядеть одинаково. Чтобы различать такие углы, придется расширить само понятие угла.

Итак, фигуристка сделала полтора оборота. Это один полный поворот на  и еще разворот на . Угол поворота мы определим как сумму этих величин:

Еще пример: во время прыжков спортсмен сделал тройное сальто и вошел воду. Вокруг своей оси он сделал  полных оборота – это  поворота на (), и еще половину - . Итого угол поворота составит:

В общем случае, угол поворота равен:

При повороте нужно учесть и его направление: по часовой стрелке или против. Для этого удобно использовать давно известный нам инструмент – отрицательные числа. Угол поворота принято считать положительным, если поворот происходит против часовой стрелки; отрицательным –  если по часовой (см. рис. 12).

Таким образом, мы расширили понятие угла: ввели углы больше  и отрицательные углы.

Тригонометрические функции произвольных углов

Вернемся к единичной окружности. Возьмем луч  и будем поворачивать его на угол . Для отрицательных  мы просто получим поворот по часовой стрелке и соответствующую точку  (см. рис. 13).

Для , больших , мы сделаем один или несколько полных оборотов и снова получим некоторую точку  (см. рис. 14). Координаты этой точки мы и будем называть синусом и косинусом этого угла. При этом все описанные ранее свойства тригонометрических функций будут выполняться и для обобщенного понятия угла.

Обратите внимание, что для расширенного понятия угла уже не получится восстановить угол по значению его тригонометрических функций, даже если известна координатная четверть. Например, если точка  расположена таким образом (см. рис. 15), то угол  может равняться ,, и т.д.

Но такая неоднозначность не должна нас пугать, мы с ней часто встречаемся в жизни. Так, у каждого человека есть размер обуви, но по размеру обуви восстановить человека, которому эта обувь принадлежит, не получится (иначе бы детективам было очень просто).

Другой пример – часы. Если вы находитесь в комнате без окон, то по этим часам не сможете определить, сейчас 12 часов дня или ночи. А, если не выходили из нее больше суток, то не сможете определить даже какого именно дня или ночи сейчас 12 часов.

Мы обсуждали, зачем нужны тригонометрические функции для геометрических углов понятно: с их помощью мы можем вычислять длины и углы. А зачем они нужны для обобщенного понятия угла? Как минимум, для описания вращательного движения – ведь именно на примере поворотов мы обобщали понятие угла. Но кроме вращения тригонометрические функции произвольного угла помогают описать любое повторяющееся движение: механические колебания, звуковые волны, распространение света. Также они нашли применение в обработке данных и моделировании процессов.

Значения тригонометрических функций углов

Теперь поговорим о значениях тригонометрических функций для различных углов. И для начала вспомним, что кроме градусов, углы еще можно измерять в радианах.  радиан – это центральный угол, которому соответствует длина дуги, равная радиусу окружности.

Полная окружность будет соответствовать углу в  радиан (так как она содержит  длин радиусов ). Тогда  радиан соответствует углу . Составив пропорцию, можно перевести любой другой угол из градусов в радианы и наоборот:

Теперь перейдем непосредственно к значениям тригонометрических функций. Мы будем рассматривать значения только косинуса и синуса. Значения тангенса и котангенса можно будет легко вычислить, используя их определение:

1) Для некоторых острых углов можно получить точные значения тригонометрических функций, рассмотрев соответствующие прямоугольные треугольники. Из треугольника с углами  и  (используя свойство катета, лежащего против угла в ):

Из прямоугольного треугольника с углами по  (используя то, что он равнобедренный):

2) Для углов ,, и значения синуса и косинуса удобно найти с помощью единичной окружности. Этим углам соответствуют точки на координатных осях.  Смотрим на координаты точек и записываем (см. рис. 16):

;

;

;

;

Для наглядности составим таблицу всех полученных значений:

3) Для остальных углов значения синуса и косинуса можно найти приближенно с помощью таблиц Брадиса, или просто воспользовавшись калькулятором. При вычислениях на калькуляторе обращайте внимание, в каких единицах вы вводите значение: градусах или радианах!

Теперь давайте посмотрим, как можно без калькулятора вычислить косинусы и синусы некоторых других углов. Мы научимся выражать их через значения тригонометрических функций острых углов. Эти навыки могут быть полезны, ведь калькулятор дает лишь приближенное значение, а для некоторых острых углов мы знаем точные значения. Кроме того, эти выражения мы сможем использовать и в тех случаях, когда нам не задано значение угла, но нужно упростить выражение.

Но в целом большинство формул, которые мы получим сейчас и будем получать в дальнейшем, будут нужны лишь для отработки техники решения различных заданий, в которых встречаются тригонометрические функции. На практике они встречаются довольно редко.

Итак, если мы знаем значение тригонометрических функций для угла , то мы можем их найти и для следующих углов:

1) для угла  эти формулы мы уже знаем:

2) для угла . Отрицательный угол означает поворот по часовой стрелке. Соответствующая точка  будет симметрична точке  относительно оси  (см. рис. 17).

Значит, их координаты  равны, а координаты  – противоположны. Получим соотношения:

Как мы уже знаем, это говорит о том, что синус – нечетная функция, а косинус – четная. Несложно убедиться, что тангенс и котангенс – нечетные функции.

3) Для угла . Чтобы получить этот угол, нужно повернуть луч еще на . Мы получим точку , симметричную точке  относительно начала координат (см. рис. 18). Координаты этих точек противоположны:

4) Для угла . Чтобы получить этот угол, нужно повернуть луч на . При этом мы сделаем полный оборот и снова попадем в эту же точку. Тогда:

Рассмотренные формулы называют формулами приведения. Ведь комбинируя эти формулы, можно привести косинус и синус любого угла к значению функций для острого угла. Этим мы займемся на практическом занятии.

Забегая немного наперед, отметим, что  – это период функции косинуса и синуса. То есть это такой минимальный промежуток, через который значения функции повторяются.

А вот у тангенса и котангенса период равен . Ведь для любого :

Аналогичные выкладки можно сделать и для котангенса.

Формулы двойного аргумента

Как мы уже отмечали, формулы приведения позволяют не только вычислять значения функций без калькулятора, но и помогают упрощать выражения. Давайте рассмотрим еще ряд формул, которые также могут пригодиться как при расчете значений функций, так и при упрощении выражений.

В формулах приведения мы прибавляли к аргументу определенные значения: ,,. Посмотрим, как будут выглядеть формулы при добавлении произвольного значения :

Чтобы получить аналогичные формулы для разности, достаточно заменить  на . При этом:

В итоге получим формулы:

С выводом этих формул вы можете ознакомиться ниже.

Вывод формул суммы и разности косинусов и синусов

Начнем с доказательства формулы косинуса разности. Рассмотрим на единичной окружности две точки:  и (см. рис. 1).

Им соответствуют углы  и , их координаты: , . Тогда координаты векторов будут такие же:

.

Угол между этими векторами:

Если , то:

В любом случае:

То есть:

Вычислим этот косинус с помощью скалярного произведения:

Заменив  на , получим:

Теперь получим формулу синуса суммы. Воспользуемся формулой приведения:

Применим формулу косинуса разности:

Снова используя формулы приведения, получим ответ:

Заменив  на , получим:

Если в этих выражениях  заменить на , то мы получим часто использующиеся для упрощения выражений формулы двойного аргумента:

Все рассмотренные формулы можно применять для упрощения выражений как в одну, так и в другую сторону. Мы это потренируемся делать на практическом занятии.

Используя основное тригонометрическое тождество, можно получить еще несколько выражений для косинуса двойного угла:

Выразим из них  и :

Эти выражения называют формулами понижения степени, ведь они позволяют перейти от квадрата тригонометрической функции к тригонометрической функции первой степени. Еще их называют формулами половинного аргумента, ведь, зная  мы сможем найти косинус и синус половины этого угла. Это позволит записать, к примеру, точное значение синуса и косинуса :

Синус острого угла – положительная величина. Значит:

Аналогично:

Формулы суммы, разности аргументов, формулы двойного и половинного аргумента можно записать и для тангенса и котангенса. Для этого достаточно записать определение этих функций через синус и косинус и преобразовать выражение. А это уже технические моменты, над которыми мы поработаем на практическом занятии.

Сумма и произведение тригонометрических функций

Познакомимся еще с некоторыми формулами, которые помогут упростить выражение, содержащее тригонометрические функции. Вернемся к формулам косинуса суммы и разности:

Сложив левые и правые части выражений, получим:

Полученная формула позволяет преобразовать сумму косинусов в произведение и наоборот. Чтобы ее было удобнее применять слева направо, введем новые обозначения:

Получим:

Снова вернемся к косинусу суммы и разности. Вычтя их второго равенства первое, получим:

Или для применения формулы слева направо:

Рассмотрев формулы синуса сумма и разности, можно получить соответствующие выражения для синусов.

Сложив, получим:

Делаем замену:

Получаем: 

При вычитании получим:

Все указанные формулы позволяют упростить выражения, преобразовав сумму косинусов и синусов в их произведение или наоборот. При желании эти формулы можно запомнить или же найти их в справочнике. Или же можно помнить, как они выводятся. Тогда достаточно будет знать лишь формулы косинуса и синуса суммы.

Заключение

Итак, сегодня мы рассмотрели множество формул, которые помогают преобразовывать тригонометрические выражения. Конечно, на практике такое большое количество формул не применяется, нам они будут нужны для отработки техники преобразований различных тригонометрических выражений. Этой техникой мы займемся на практическом занятии.

Список рекомендованной литературы

1. Никольский С.М., Решетников Н.Н., Потапов М.К., Шевкин А.В. Алгебра и начала математического анализа. 10 класс. Учебник. ФГОС, издательство «Просвещение», 2019.

2. Мордкович А.Г., Семенов П.В., Алгебра и начала математического анализа. 10 класс. Учебник, издательство «Мнемозина», 2019.

3. Колмогоров А.Н., Дудинцев Ю.П., Абрамов А.М. Алгебра и начала математического анализа. 10 класс. Учебник, издательство «Просвещение», 2019.

Рекомендованное домашнее задание

1. На единичной окружности построить точку, полученную поворотом точки  на угол .

2. Определить знак , если .

3. Доказать тождество: