01. Введение. Длина дуги окружности

Определение окружности

Окружностью (см. Рис. 1) называется множество всех точек плоскости, которые равноудалены от одной точки (центра).

Длина дуги

Длина любой кривой (в том числе и дуги) приближённо описывается ломаной, вершины которой находятся на этой кривой. Если неограниченно измельчить звенья ломаной, то получим длину кривой (см. Рис. 2).

Длина окружности

Пусть дана окружность. Если изменить все радиусы данной окружности в  раз, получим новую окружность, все размеры которой также изменятся в  раз. Следовательно, отношение длины окружности к её диаметру будет числом постоянным:

Такое отношение назвали числом пи (). Это число примерно равно 3,14.

Выразим из этого выражения длину окружности ():

, где – радиус окружности.

 – длина окружности

Исходя из этой формулы, при :

 – длина единичной окружности

Необходимо ввести такую единицу измерения угла, чтобы полный угол был равен . Такой единицей измерения угла является радиан.

Определение радиана

Угол в один радиан – это такой центральный угол, длина дуги которого равна радиусу окружности (см. Рис. 3).

; .

Связь между радианом и градусом

Формула длины окружности , следовательно, в одну окружность укладывается  радиусов (см. Рис. 4). Поэтому:

;

.

По полученной формуле можно переводить радианы в градусы или градусы в радианы. Например:

1. ;

2. ;

3. .

Формула длины дуги окружности

Дано: ;  (см. Рис. 5).

Найти: .

Решение

Дуга – это часть всей окружности. Длина окружности равна , в окружности укладывается  радиан, следовательно, длина дуги окружности, которая соответствует углу в один радиан, равна:

.

В  всего  радиан, поэтому длина дуги окружности, соответствующая углу в  радиан, равна:

.

Если , то:

Ответ:  – формула длины дуги окружности.

Задача 1

Дано: окружность радиуса  (см. Рис. 6).

Найти:

1. Длину дуги ;

2. Длину дуги , если .

Решение

1. Так как окружность единичная, то её длина равна . Длина дуги  составляет  длины всей окружности. Поэтому её длина равна: 

.

2. Длина дуги единичной окружности равна:

.

Поэтому:

Ответ:

1. ;

2. .

Задача 2

Дано: окружность радиуса . Каждая четверть разделена пополам (см. Рис. 7).

Найти:

1. ; ;

2. ;

3. ;

4. .

Решение

Из предыдущей задачи известно, что длина четверти окружности равна . Следовательно:

1. ;

2. ;

3. ;

4.  соответствует развёрнутому углу, то есть половина длины окружности, следовательно:

Ответ:

1. ;

2. ;

3. ;

4. .

Задача 3

Дано: окружность радиуса .  (см. Рис. 8)

Найти:

1. ; ;

2. ; .

Решение

1. Длина дуги  равна , следовательно:

.

2. ;

.

Ответ:

1. ;

2. ; .

Список литературы

1. Мордкович А.Г., Семенов П.В. Алгебра и начала математического анализа, 10 класс. В 2 ч. Ч. 1. Учебник для учащихся общеобразовательных учреждений. – М.: Мнемозина, 2009.

2. Мордкович А.Г. Алгебра и начала математического анализа, 10 класс. В 2 ч. Ч. 2. Задачник для учащихся общеобразовательных учреждений. – М.: Мнемозина, 2009.

3. Виленкин Н.Я., Ивашев-Мусатов О.С., Шварцбурд С.И. Алгебра и математический анализ для 10 класса (учебное пособие для учащихся школ и классов с углубленным изучением математики). – М.: Просвещение, 1996.

4. Колягин Ю.М., Сидоров Ю.В., Ткачева М.В., Федорова М.В., Шабунин М.И. Алгебра и начала математического анализа, 10 класс. Учебник для учащихся общеобразовательных учреждений (профильный уровень). – М.: Мнемозина, 2009.

Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

1. Интернет-сайт «raal100.narod.ru» (Источник).

2. Интернет-сайт «tvlad.ru» (Источник).

Домашнее задание

1. Задание 11.3, 11.10, 11.13 (стр. 69–70) – Мордкович А.Г. Алгебра и начала математического анализа, 10 класс. В 2 ч. Ч. 2. Задачник.

2. Найдите радианные меры углов параллелограмма , если .

3. Найдите длину дуги окружности радиуса 1 см, отвечающей центральному углу: 1. ; 2. ; 3. .