22. Задачи на расстояние от точки до кривой

На уроке по теме «Задачи на расстояние от точки до кривой» вначале повторяются основные понятия, связанные с решением задачи на расстояние от точки до кривой. При решении подобных задач обычно применяется производная. Методика решения задачи объясняется на конкретных примерах.

Что такое расстояние от точки  до кривой? Точку  можно соединить со многими точками кривой. Каждый раз будут получаться разные расстояния. Среди них нужно найти наименьшее. Это расстояние и будет называться расстоянием от точки до кривой. На кривой надо найти такую точку чтобы расстояние было наименьшим (см. рис. 1).

Видим, что задача на расстояние – это задача на экстремум, на минимум, то есть без производной не обойтись.

Вспомним, что расстояние от точки до прямой – это длина перпендикуляра (см. рис. 2).

Расстояние между прямыми – это тоже длина перпендикуляра (см. рис. 3).

Расстояние от точки до окружности легко найти. Нужно соединить центр с точкой , в результате получится точка  – искомое расстояние (см. рис. 4).

Расстояние между двумя окружностями, которые не пересекаются. Нужно соединить центры, получим две точки  и  – искомое расстояние (см. рис. 5).

Сформулируем задачу в общем виде и напомним, каким образом её решать. Мы повторили, что такое расстояние. Вспомним формулу расстояния между двумя заданными точками.  Предположим, что на координатной плоскости даны две точки  и  (см. рис. 6).

Расстояние между точками вычисляется по формуле  

.

Таким образом, находится расстояние между точками, если известны координаты этих точек.

На параболе  найти точки ближайшие к началу координат, то есть к точке .

Решение.

Из простейшего анализа задачи можно увидеть, что задача имеет два решения, в силу симметрии графика функции относительно оси (см. рис. 7).

Координаты искомой точки: . По соответствующей формуле можем найти квадрат расстояния:

. Это расстояние должно быть наименьшим. Упростим эту формулу и получим:

или

.

Можно сразу использовать производную для решения задачи, но пока попытаемся воспользуемся свойствами биквадратной функции. С помощью замены переменной , получим:

. Задача свелась к нахождению минимума следующей квадратичной функции . Найдём абсциссу вершины  (см. рис. 8).

Задача практически решена. Наименьшее значение этой функции будет тогда, когда . Вычислим . Значит, функция  ведёт себя следующим образом (см. рис. 9):

Без производной, с помощью свойств квадратичной функции, решили задачу. Если , то , отсюда , . Если значения координат  известны, вычислим значения

;

.

Получили ответ

Итак, была задача: найти точки на кривой, которые бы отстояли от начала координат на наименьшее расстояние. Такие точки найдены. Первая точка − , вторая точка – .

Напомним ход решения задачи. Точка  зависит только от её координаты – . При выражении квадрата расстояния, получили функцию от Можно с помощью производной найти минимум. Можно сделать проще. Если сделать замену , получим квадратичную функцию и можно найти наименьшее значение данной квадратичной функции.

Ответ: .

На графике функции  найти точку ближайшую к данной точке . Решение.

Сделаем рисунок (см. рис. 10).

Заданы координаты двух точек:  и .

Найдём расстояние АМ: .

 или .

 – квадратичная функция от Вспомним, что нужно найти минимальное значение, то есть . Графиком этой функции является парабола, ветвями направленная вверх, значит, минимум находится в вершине. Выделим полный квадрат и получим:

. Выяснилось, что . Равенство достигается, когда  принимает самое минимальное значение. Это будет в случае, когда . Таким образом, получили ответ , а . Значит, координаты точки .

Ответ: .

Итак, мы рассмотрели задачи на расстояние от точки до кривой. Можно находить само это расстояние, можно искать точки, которые обеспечивают минимум этого расстояния. Повторили, что такое расстояние между фигурами. Расстояние от точки до кривой – это наименьшее из расстояний, которое получается, когда точка на кривой пробегает все возможные значения. Например, точка M может пробегать все значения на кривой , но наименьшее расстояние будет тогда, когда точка M имеет координаты . Для этого нужно, во-первых, вспомнить, что такое расстояние, и во-вторых, каким образом ищется расстояние между точками, если известны координаты. И, наконец, надо записать квадрат расстояния и проанализировать полученную функцию. Если не удаётся это сделать элементарными средствами, с помощью свойств квадратичной функции, то надо использовать производную и искать наименьшее значение функции .

Список рекомендованной литературы

1. Алгебра и начала анализа, 10 класс (в двух частях). Учебник для общеобразовательных учреждений (профильный уровень) под ред. А. Г. Мордковича. –М.: Мнемозина, 2009.

2. Алгебра и начала анализа, 10 класс (в двух частях). Задачник  для общеобразовательных учреждений (профильный уровень) под ред. А. Г. Мордковича. –М.: Мнемозина, 2007.

3. Виленкин Н. Я., Ивашев-Мусатов О. С., Шварцбурд С. И. Алгебра и математический анализ для 10 класса (учебное пособие для учащихся школ и классов с углублённым изучением математики).-М.: Просвещение, 1996.

4. Галицкий М. Л., Мошкович М. М., Шварцбурд С. И. Углублённое изучение алгебры и математического анализа.-М.: Просвещение, 1997.

5. Сборник задач по математике для поступающих во ВТУЗы (под ред. М. И. Сканави).-М.: Высшая школа, 1992.

6. Мерзляк А. Г., Полонский В. Б., Якир М. С. Алгебраический тренажёр.-К.: А. С. К., 1997.

7. Звавич Л. И., Шляпочник Л. Я., Чинкина. Алгебра и начала анализа. 8-11 кл.: Пособие для школ и классов с углублённым изучением математики (дидактические материалы).-М.: Дрофа, 2002.

8. Саакян С. М., Гольдман А. М., Денисов Д. В. Задачи по алгебре и началам анализа (пособие для учащихся 10-11 классов общеобразов. учреждений).-М.: Просвещение, 2003.

9. Карп А. П. Сборник задач по алгебре и началам анализа : учеб. пособие для 10-11 кл. с углубл. изуч. математики.-М.: Просвещение, 2006.

10. Глейзер Г. И. История математики в школе. 9-10 классы (пособие для учителей).-М.: Просвещение, 1983.

Полезные ссылки

1. Интернет-портал «mathematics.ru»‎. 

Проверь себя

1. № 46.52 (а) (Алгебра и начала анализа, 10 класс (в двух частях). Задачник  для общеобразовательных учреждений (профильный уровень) под ред. А. Г. Мордковича. –М.: Мнемозина, 2007.)