06. Задачи с тригонометрическими функциями и производной

На уроке по теме «Задачи с тригонометрическими функциями и производной» повторяется таблица производных, рассматриваются примеры решения задач и уравнений cиспользованием производных  тригонометрических функций.

На уроке рассматриваются примеры решения задач и уравнений на вычисление производных тригонометрических функций.

Некоторые табличные производные, содержащие тригонометрические функции:

1) ;

Например, .

2) ;

Например, .

3) ;

Например, .

4) .

5) .

6) .

7) .

Задача 1.

Дано: .

Вычислить: .

Решение:  – нашли производную данной функции,  – подставили значение .

Ответ:

Задача 2.

Дано: .

Вычислить: .

Решение: ;

.

Ответ:

Задача 3.

Дано: .

а) Решить уравнение ;

б) решить неравенство .

Решение:

Находим производную функции:

.

а) ;

;

;

.

Ответ: .

б) ;

.

Решим двумя способами:

1-й способ.

При  неравенство принимает вид .

1) строим график функции  на наименьшем периоде ;

2) строим график функции ;

3) находим точки пересечения графиков;

4) записываем решения на промежутке ; и учитываем периодичность (рис. 1).

;

.

Ответ: .

2-й способ.

Построим единичную окружность, число  отметим на оси ординат (оси синусов), получим на окружности числа  и  (рис. 2), промежуток на оси синусов, на котором значения синуса больше , отметим синим цветом, наконец, соответствующую этим значениям дугу отметим зелёным цветом.

Числа на дуге можно описать таким двойным неравенством:

;

.

Ответ: .

Задача 4.

Дано: .

Решить уравнение: .

Решение:

1) вычисляем производную функции: ;

2) решаем тригонометрическое уравнение:

;

.

Построим единичную окружность и отметим число  на оси абсцисс (оси косинусов для аргумента ), найдём соответствующие точки на окружности (рис. 3) и запишем множество решений для аргумента

;

.

Ответ: .

На уроке были рассмотрены примеры решения задач и уравнений с использованием производных функций, содержащих тригонометрические функции.

Список рекомендованной литературы

1. Алгебра и начала анализа, 10 класс (в двух частях). Учебник для общеобразовательных учреждений (профильный уровень) под ред. А. Г. Мордковича. – М.: Мнемозина, 2009.

2. Алгебра и начала анализа, 10 класс (в двух частях). Задачник  для общеобразовательных учреждений (профильный уровень) под ред. А. Г. Мордковича. – М.: Мнемозина, 2007.

3. Виленкин Н. Я., Ивашев-Мусатов О. С., Шварцбурд С. И. Алгебра и математический анализ для 10 класса (учебное пособие для учащихся школ и классов с углублённым изучением математики). - М.: Просвещение, 1996.

4. Галицкий М. Л., Мошкович М. М., Шварцбурд С. И. Углублённое изучение алгебры и математического анализа. - М.: Просвещение, 1997.

5. Сборник задач по математике для поступающих во ВТУЗы (под ред. М. И. Сканави). - М.: Высшая школа, 1992.

6. Мерзляк А. Г., Полонский В. Б., Якир М. С. Алгебраический тренажёр. - К.: А. С. К., 1997.

7. Звавич Л. И., Шляпочник Л. Я., Чинкина. Алгебра и начала анализа. 8-11 кл.: Пособие для школ и классов с углублённым изучением математики (дидактические материалы). - М.: Дрофа, 2002.

8. Саакян С. М., Гольдман А. М., Денисов Д. В. Задачи по алгебре и началам анализа (пособие для учащихся 10-11 классов общеобразов. учреждений). - М.: Просвещение, 2003.

9. Карп А. П. Сборник задач по алгебре и началам анализа : учеб. пособие для 10-11 кл. с углубл. изуч. математики. - М.: Просвещение, 2006.

10. Глейзер Г. И. История математики в школе. 9-10 классы (пособие для учителей). - М.: Просвещение, 1983.

Полезные ссылки

1. Интернет-портал «‎mathematics.ru».

Проверь себя

1. Алгебра и начала анализа, 10 класс (в двух частях). Задачник  для общеобразовательных учреждений (профильный уровень) под ред. А. Г. Мордковича. –М.: Мнемозина, 2007. № 42.10, 42.24.