23. Число e. Функция y = eˣ, её свойства, график, дифференцирование

На данном уроке мы определим число Выясним свойства функции , построим график, и научимся её дифференцировать. Также разберём несколько примеров классических задач, в которых используется число

Напомним, что показательной называется функция вида . График выглядит так:

График функции возрастает, если ; если основание  лежит в пределах , то функция убывает.

Вспомним основные свойства.

1. .  может принимать любые действительные значения;

2. .  может принимать любые положительные значения;

3. . Графики всех функций при любом значении  проходят через эту точку;

4. Функция возрастает, если ;

5. Функция убывает, если .

Итак, мы вспомнили, что такое показательная функция и каковы её основные свойства.

Число

Рассмотрим две конкретные показательные функции с основанием и .

Вот график функции :

Вот график функции :

В точке , если проведём касательную к одному и второму графику, обнаружим, что касательная к первому графику наклонена к оси примерно на (меньше ).

Во втором случае касательная наклонена к оси примерно на (больше ).

Предполагаем, и вообще это доказано, что существует между основаниями и  такое число , что график  имеет касательную в точке , которая наклонена к оси ровно на .

Итак, в первом случае касательная наклонена под углом меньше , во втором случае касательная наклонена под углом больше . И, оказывается, есть такое число что касательная в точке  наклонена к оси  под углом ровно .  Это число во-первых, расположено  и, во-вторых, иррационально. Вот выписано несколько десятичных знаков этого числа: . Таким образом, мы ввели очень важное число

Теперь рассмотрим свойства показательной функции с основанием

График функции выглядит так:

Свойства аналогичны свойствам функции с основанием :

• ;

• функция возрастает;

• функция не ограничена сверху, но ограничена снизу;

• не существует ни наибольшего , ни наименьшего  значений;

• функция непрерывна;

• принимает все значения, когда ;

• функция выпукла вниз.

Функция дифференцируема. Что это значит практически? Что касательную к экспоненте можно провести в любой точке.

Таковы свойства данной функции.

Поговорим о производной этой функции. Что мы на данный момент о ней знаем и без доказательства понимаем?

Мы говорили, что функция  дифференцируема. Это значит, что касательная в любой точке существует, то есть производная существует в любой точке. Но как её найти? Мы знаем, что производная в точке . Доказан важный факт:  При любом действительном значении . То есть отсюда видна особенность числа Производная, то есть скорость роста функции  в точке  равна значению функции в этой же точке. Это основная формула, которая позволит нам дифференцировать все показательные функции.

Теперь рассмотрим некоторые типовые задачи на производную функции .

Пример 1.

Дано:

Найти: производную

Решение.

Вот основная формула , мы умеем дифференцировать сложную функцию.

Ответ:

Пример 2.

Дано:

Найти: производную

Решение.

По тем же правилам, по которым мы дифференцируем все функции, продифференцируем и эту.

Ответ:

Итак, зная основную формулу , мы можем решать примеры на нахождение производных.

Следующая стандартная задача на касательную.

Пример 3.

Дано: , абсцисса точки касания ;

Найти: Уравнение касательной к данной кривой с абсциссой в .

Решение.

Вспоминаем уравнение касательной и стандартную методику её построения:

Какие действия нужно сделать, чтобы составить уравнение касательной?

Найти координаты точки касания:

Итак, точка с координатами  – это точка касания (рис. 6).

Найти производную в любой точке

Найти конкретное значение производной в точке

У нас все есть, чтобы заполнить уравнение касательной.

Заполняем, получаем:

Ответ:

Небольшой анализ:

Тангенс угла наклона:

Ордината пересечения точки с осью

Задача решена.

Пример 4.

Найти наименьшее значение функции .

Решение.

Имеем производную произведения:

Приравниваем производную к нулю и убеждаемся, что только при , так как по свойству показательной функции всегда больше нуля.

Итак, имеем единственную критическую точку (рис. 7).

Если , то и функция убывает. Если , то и функция возрастает.

Мы уже говорили, что  – единственная критическая точка. Посчитаем значение функции в ней:

И получаем ответ: наименьшее значение функции достигается в точке .

Ответ:

Итак, мы познакомились с числом показательной функцией с основанием На следующем уроке мы рассмотрим логарифмическую функцию с основанием

Список литературы

1. Мордкович А. Г. Алгебра и начала математического анализа. – М.: Мнемозина.

2. Муравин Г. К., Муравина О. В. Алгебра и начала математического анализа. – М.: Дрофа.

3. Колмогоров А. Н., Абрамов А. М., Дудницын Ю. П. и др. Алгебра и начала математического анализа. – М.: Просвещение.

Полезные ссылки

1. Uztest.ru.

Проверь себя

1. Найти производные функция в указанных точках:

а)

б)

2. Найдите тангенс угла наклона касательной к графику функции  в точке с абсциссой

а)

б)

3. Алгебра и начала анализа, Мордкович А. Г.: № 1616, 1618, 1621, 1624.