10. Дифференцирование и интегрирование показательной и логарифмической функций

На этом уроке мы рассмотрим дифференцирование показательных и логарифмических функций при любом допустимом основании Разберём несколько конкретных примеров. А также рассмотрим эти функции в качестве первообразных.

Если у вас возникнет сложность в понимании темы, рекомендуем посмотреть урок «Производная и интеграл».

Определение.

Мы умеем дифференцировать показательную и логарифмическую функции, если основание – число Исходной для нас является следующая формула:

Дано:

Доказать: При любом допустимом основании

Доказательство:

Вспомним основное логарифмическое тождество: .

Обратим внимание, что основание и у показательной, и у логарифмической функций здесь

С помощью предыдущего соотношения дифференцируем, находим производную сложной функции:

Что и требовалось доказать.

Прокомментируем формулу .

Чтобы найти производную показательной функции, надо саму показательную функцию умножить на натуральный логарифм её основания.

Итак, мы умеем находить производную показательной функции с любым допустимым основанием . Если мы это умеем делать, значит, мы умеем решать все стандартные задачи на производную.

Дано:

Найти: Производную в конкретной точке 

Решение.

У нас есть методика. Действуем по ней. Найдём производную в любой точке. То есть продифференцируем  по формуле :

Теперь осталось подставить :

.

Ответ: .

Аналогично решается вторая задача:

Дано:

Найти: Производную в конкретной точке

Решение. Продифференцируем  по формуле :

Подставим :

Ответ: .

Далее нам следует научиться интегрировать показательную функцию.

Рассмотрим формулу – произвольная постоянная.

Почему? По определению.

Производная правой части должна быть равна . Проверяем: .

То есть формула 1. справедлива.

Теперь вместо  под интегралом , при любом допустимом основании

Проверим эту формулу. То есть возьмём производную правой части и докажем, что она равна функции под интегралом.

Что и требовалось доказать.

Итак, мы умеем дифференцировать показательную функцию. Значит, мы умеем решать стандартные задачи на первообразную этой функции. Вот одна из стандартных задач:

Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями .

Решение.

Речь идёт о такой площади криволинейной трапеции: рис. 1.

По формуле Ньютона-Лейбница эта площадь равна:

Ответ: .

Мы рассмотрели дифференцирование показательной функции. Теперь рассмотрим дифференцирование логарифмической функции. А именно докажем формулу:

Дано:

Доказать:

При любом допустимом основании  справедлива формула .

Доказательство:

Будем использовать формулу

Вспомним, как можно и нужно переходить к новому основанию

Так вот, в нашем случае .

.

Что и требовалось доказать.

Мы умеем находить производную логарифмической функции при любом допустимом основании

Следовательно, мы умеем решать стандартные задачи с использованием этой формулы. Вот одна из этих задач:

Дано: Логарифмическая функция

Найти:

Решение.

Решение находим по стандартной методике.

Первое действие. Находим производную в любой точке

Второе действие. Находим производную в заданной точке

Ответ:

Докажем или проверим следующую важную формулу:

Особенности формулы:  в знаменателе в первой степени.

Доказательство:

Раскрываем модуль как положено, рассматриваем два случая:

Под модулем стоит положительное число

нулём быть не может;

Производная правой части:

Аналогично доказывается формула во втором случае:

Под модулем стоит отрицательное число

нулём быть не может;

Производная правой части:

Формула доказана.

Рассмотрим одну из типовых задач на доказанную формулу.

Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями

.

Решение.

На рисунке показана искомая площадь:

По формуле Ньютона-Лейбница эта площадь равна:

Ответ:

Итак, мы научились дифференцировать логарифмическую и показательную функции. На следующем уроке мы перейдём к изучению теории равносильности уравнений.

Список рекомендованной литературы

1. Мордкович А. Г. Алгебра и начала математического анализа. – М.: Мнемозина.

2. Муравин Г. К., Муравина О. В. Алгебра и начала математического анализа. – М.: Дрофа.

3. Колмогоров А. Н., Абрамов А. М., Дудницын Ю. П. и др. Алгебра и начала математического анализа. – М.: Просвещение.

Проверь себя

1. Найти производную функции  в конкретной точке .

2. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями .

3. Алгебра и начала анализа, Мордкович А. Г.: № 1619, 1644, 1660, 1661.