09. Дифференцирование и интегрирование степенной функции с рациональным показателем

Введение

Вспомним дифференцирование степенной функции с натуральным показателем.

Пример 1 – найти производную функции:

Пример 2 – найти производную функции в точке:

Дифференцирование степенной функции с натуральным основанием, теория, примеры

Вспомним дифференцирование сложной степенной функции с натуральным показателем.

Пример 3 – найти производную функции:

Комментарий: при решении примера была применена формула производной линейной функции

Пример 4 – найти производную функции в точке:

Рассмотрим степенную функцию вида, то есть степенную функцию с отрицательным натуральным показателем. Докажем, что ее производная аналогична функции с положительным показателем степени.

Дано:

Найти:

Напомним, что производная частного определяется по формуле:

В данном случае:

Получили:

Что и требовалось доказать.

Таким образом, можно сделать вывод:

Производная степенной функции с рациональным основанием, теория, примеры

Теперь рассмотрим степенную функцию с рациональным показателем.

Производная данной функции аналогична уже рассмотренным производным для натурального и целого показателей. Следующую теорему принимаем без доказательства.

Теорема:

Если

 и r – любое рациональное число, то производная функции вида

 вычисляется по формуле:

Пример 5 –  найти производную функции:

Пример 6 – найти производную функции в точке:

Некоторые факты о первообразной

Перейдем к интегрированию степенной функции с рациональным показателем, для этого сделаем некоторые напоминания. 

1. Если

 , то – первообразная для ;

2. Функция имеет бесчисленное множество первообразных. Все их семейство можно выразить следующим образом:

3. Множество всех первообразных некоторой функции называется ее неопределенным интегралом:

Определенный интеграл можно найти по формуле:

Интегрирование степенной функции с рациональным основанием, теория, примеры

Пусть задана степенная функция с рациональным показателем.

Доказать:

Другими словами нужно доказать, что в правой части равенства стоит множество всех первообразных подынтегральной функции.

Для этого возьмем производную правой части и покажем, что она равна подынтегральному выражению.

Что и требовалось доказать.

Усложним степенную функцию.

Доказать:

Докажем аналогично предыдущему случаю, возьмем производную от правой части:

Что и требовалось доказать.

Пример 7 – найти неопределенный интеграл:

Выполним проверку. Для этого возьмем производную от полученного выражения:

Получена исходная функция, а значит, неопределенный интеграл найден верно.

Пример 8 – вычислить определенный интеграл:

Итак, мы рассмотрели дифференцирование и интегрирование степенных функций с рациональным показателем. Мы вывели некоторые важные формулы, а также решили несколько простых примеров для закрепления материала.

Список литературы

1. Мордкович А.Г. Алгебра и начала математического анализа. – М.: Мнемозина.

2. Муравин Г.К., Муравина О.В. Алгебра и начала математического анализа. – М.: Дрофа. 

3. Колмогоров А.Н., Абрамов А.М., Дудницын Ю.П. и др. Алгебра и начала математического анализа. – М.: Просвещение.

Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

1. Старая школа (Источник).

Домашнее задание

1. Алгебра и начала анализа, 10-11 класс (А. Н. Колмогоров, А. М. Абрамов, Ю. П. Дудницын) 1990, № 208-211;

2. Определить производную функции в точке:

а)

;

б)

;

в)

;

г)

;

3.      Вычислить определенный интеграл:

а)

;

б)

;

в)

;

г)

;