02. Формула бинома Ньютона

Рассмотрение некоторых формул сокращенного умножения

Вспомним некоторые формулы сокращенного умножения.

– формула квадрата суммы. Рассмотрим, как вывести эту формулу.

 раскрываем скобки, перемножая почленно:

.

Аналогично, для куба суммы:

Раскрываем скобки, почленно перемножая, получаем:

Когда необходимо будет возвести сумму в более высокую степень, умножать почленно скобку на скобку будет проблематично. В этом нам поможет формула бинома Ньютона. По определению, бином – это двучлен, то есть сумма двух слагаемых.

Доказательство формулы бинома Ньютона

Формула бинома Ньютона позволяет возводить сумму двух слагаемых в любую степень.

Попробуем раскрыть скобки. Выберем из каждой скобки . Получим . Предположим, что из  скобки выбрать , а из одной скобки выбрать , получим . Но получится такое произведение не один раз, как и в случае с формулами квадрата суммы и куба суммы. Ведь  можно выбрать из 1-й скобки, из 2-й скобки и так далее. Количество вариантов выбрать . получим 

Предположим, что из  скобок выберем число , а из оставшихся  скобок выберем число . Получим .

Сколько способов из  скобок выбрать число ? То есть из  скобок выбрать  скобок, из которых выбрать число .  Это в точности сочетание: выбрать  объектов из  без учёта порядка, а это . Получаем

Подставляя все возможные от 0 до , получим формулу бинома Ньютона:

Перепишем формулу. Заметим, что в формуле есть  и .

 – это количество способов выбрать из  объектов один. Таких способов . Поэтому в формуле можно заменить на , а можно заменить на ,так как количество способов выбрать из  объектов один равно количеству способов выбрать из  объектов . Ведь выбрать  – то же самое, что не выбрать .

Получим:

Формула бинома Ньютона: .

Пример использования формулы бинома Ньютона для суммы 4-й степени

Пример.

. В данном решение был изменен порядок следования: начали не с , а с . Разницы нет, так как  или же:

Чтоб дописать формулу четвертой степени суммы, нужно знать значение  (по треугольнику Паскаля (Источник). 

.

Пример использования формулы бинома Ньютона для квадрата суммы

Пример.

Найдем квадрат суммы по формуле бинома Ньютона: .

Формула бинома Ньютона для разности

Пример. Получение формулы бинома Ньютона для разности

Подставим вместо  в формулу бинома Ньютона :

Получим  степень для суммы и .

 Когда в соответствующем примере из формулы бинома Ньютона число  в четной степени – знак «-» уйдет, когда в нечетной степени – останется.

Формула бинома Ньютона для разности:

Список литературы

1. Мордкович А.Г. Алгебра и начала математического анализа. – М.: Мнемозина.

2. Муравин Г.К., Муравина О.В. Алгебра и начала математического анализа. – М.: Дрофа.

3. Колмогоров А.Н., Абрамов А.М., Дудницын Ю.П. и др. Алгебра и начала математического анализа. – М.: Просвещение.

Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

1. Cleverstudents.ru (Источник).

2. www-formula.ru (Источник).

3. Oldskola1.narod.ru (Источник). 

Домашнее задание

1. Разложить выражение  по формуле бинома Ньютона.

2. Разложить выражение  по формуле бинома Ньютона.

3. Разложить выражение  по формуле бинома Ньютона.

4. Вычислить число сочетаний .

5. Вычислить число сочетаний .