04. Функции y=(√x)ⁿ, их свойства и графики. Задачи

Функция y=(√x)n при четных n, свойства в общем и частных случаях

Начнем с повторения функций для четного n, т. е. функций и т. д.

Рис. 1. График функциипри четных n

Важно, что любая из этих кривых проходит через две точки: (0;0) и (1;1).

Когда аргумент возрастает от нуля до плюс бесконечности, то и функция возрастает от нуля до плюс бесконечности.

Свойства данных функций:

1. Область определения:

;

2. Область значений:

;

3. Функция возрастает на луче;

4. Функция проходит через точки (0;0), (1;1) при любом n.

Изучаемые функции имеют много общих свойств, но каждая из них единственна и неповторима. Для примера рассмотрим взаимное расположение двух кривых:

.

Пока х изменяется от нуля до единицы, кривая находится над кривой, в точке (1;1) кривые пересекаются и далее меняют свое расположение, когда х меняется от единицы до плюс бесконечности, кривая находится над кривой .

Описанное расположение можно описать так:

Пример 1:

но

Пример 2:

но

Рис. 2. Взаимное расположение графиков функций

Функция y=(√x)n при нечетных n, свойства в общем и частных случаях

Перейдем к функциям для нечетного n, т. е. функциям и т. д., причем в данном случае и.

Рис. 3. График функции для нечетного n,

Если аргумент меняется от минус бесконечности до плюс бесконечности, функция возрастает от минус бесконечности до плюс бесконечности.

Основные свойства рассматриваемых функций:

1. Область определения:;

2. Область значений:;

3. Графики функций проходят через точки (0;0), (1;1), (-1;-1)

4. Функции нечетные, графики симметричны относительно начала координат;

5. Функции возрастают от минус до плюс бесконечности.

Рассмотрим взаимное расположение двух кривых:.

Рис. 4. Взаимное расположение графиков функций

На участке кривая находится выше кривой, однако когда кривые располагаются наоборот, расположена выше:

Решение типовых задач

Пример 3 – решить неравенство:

Чтобы найти решение неравенства, нужно узнать знак числа, стоящего в скобках. Поскольку значение синуса любого угла меньше единицы, разность в скобках будет иметь знак минус. Исходя из этого, получаем решение неравенства:.

Рассмотрим одну из типовых задач для функции

для четного n.

Пример 4: найдите область значений функции на интервале.

Решение основывается на свойстве данной функции, а именно ее монотонном возрастании. Найдем значения в границах интервала:

Таким образом, получаем ответ:.

Аналогичная задача существует для функции

при нечетном n.

Пример 5: найдите область значений функции

на интервале

Данная функция также имеет свойство монотонно возрастать при возрастании аргумента.

Аналогично предыдущему примеру найдем значения функции в граничных точках и получим ответ.

Таким образом, получаем ответ:.

Подобные задачи допускают различные формулировки, рассмотрим одну из них.

Пример 6: найдите наибольшее и наименьшее значение функции на интервале.

Ответ очевиден: наименьшего значения функция достигает при наименьшем значении аргумента, т. е.

, наибольшее значение соответствует наибольшему значению х, но наш интервал заканчивается круглой скобкой, поэтому наибольшего х, а значит, и наибольшего у, не существует.

Пример 7: решить уравнение графически.

Разбиваем заданное уравнение на две функции:

Свойства данных функций нам известны, первая монотонно возрастает и обязательно проходит через три известные нам точки, вторая монотонно убывает, поэтому если данная система имеет решение, то оно единственное.

Построим заданные функции:

Рис. 5. Графики функций и

Очевидно, что решением системы является точка с координатами (1;1). Выполним проверку:

Таким образом, получили корень уравнения: x=1.

Пример 8: найдите область определения функции.

Мы помним, что под корнем четной степени должно стоять только положительное выражение, в то время как на корень нечетной степени никаких ограничений не накладывается. Получаем неравенство:

Умножим неравенство на минус единицу, получим:

Получили неравенство в стандартном виде, выпишем и поясним его решения:

Таким образом, получили ответ:

.

Пример 9: найти наибольшее значение функции.

Помним, что под корнем четной степени может стоять только неотрицательное число:

Определим, в каких пределах изменяется подкоренное выражение

. Несложно найти, что оно принадлежит интервалу [0;1].

Рассмотрим функцию

. Данная функция монотонно возрастает, поэтому своего максимума достигнет при максимальном значении х, т. е. получаем:

.

Пример 10: построить график и найти область значений функции.

Первая функция при убывает от двух до нуля. Вторая функция при возрастает от нуля до единицы.

Итак, если аргумент меняется в заданных пределах, функция принимает значения на интервале от нуля до двух, таким образом, получаем ответ: область значений функции.

Свойства функции лежат в основе решения различных задач с параметром, рассмотрим одну из них.

Пример 11: найти число корней уравнения с параметром.

Причем

Напомним, что решение задачи с параметром подразумевает перебрать все возможные значения параметра и для каждого из них указать ответ.

Для решения подобных задач можно применять следующий алгоритм:

1. Построить график функций;

График уже был построен в предыдущем примере.

2. Рассечь график семейством прямых y=a, найти точки пересечения и выписать ответ;

Выполним рассечение:

Исходя из рисунка 9, выпишем ответ:

Уравнение не имеет корней при:

Уравнение имеет единственный корень при:.

Уравнение имеет два корня при:.

Итак, мы повторили свойства функций для всех значений n, построили графики и исследовали их. Кроме того, мы научились решать разнообразные типовые задачи, пользуясь свойствами изучаемых функций. На следующем уроке мы рассмотрим свойства корня n-й степени из неотрицательного числа.

Список литературы

1. Мордкович А.Г. Алгебра и начала математического анализа. – М.: Мнемозина.

2. Муравин Г.К., Муравина О.В. Алгебра и начала математического анализа. – М.: Дрофа.

3. Колмогоров А.Н., Абрамов А.М., Дудницын Ю.П. и др. Алгебра и начала математического анализа. – М.: Просвещение.

Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

1. Fizmat.by (Источник).

2. Terver.ru (Источник).

3. Studyport.ru (Источник).

Домашнее задание

1. Алгебра и начала анализа, 10–11 класс (А.Н. Колмогоров, А.М. Абрамов, Ю.П. Дудницын) 1990, № 425 (выполнить решение графически)

2. Найти минимальное значение функции:

а); б); в)

3. Найти количество решений уравнения с параметром

, если