03. Функции y = ⁿ√x, их свойства и графики

Определение корня n-й степени, существование функций вида

Напомним основное определение.

Определение:

Корнем -ой степени из неотрицательного числа при четном называют такое неотрицательное число, которое при возведении в степень дает в результате число .

Например: , т. к. ; , т. к. .

Из определения следует важный вывод:

На множестве значений  существует функция  при , т. е. при любом натуральном n, не равном единице.

Вспомним, что называется функцией.

Функция у=х, теорема о симметрии графиков функций

Определение:

Функцией называется закон соответствия, по которому каждому значению аргумента ставится в соответствие единственное значение функции .

Рассмотрим исследуемую функцию при :.

Очевидно, что представленный график (Рис. 1.) проходит через точки , , и т. д.

Чтобы избавиться от корня, возведем функцию в квадрат, наложив условие на :

Рассмотрим две функции. Первая –  при , график ее – это часть параболы. Вторая функция –  при , это также часть параболы. Данные ветви парабол симметричны относительно прямой . графики имеют две общие точки: и . На ветви параболы  лежат точки с координатами , на ветви параболы  – точки с координатами . Эти точки симметричны относительно прямой . Рис. 2.

Теорема:

Точки и симметричны относительно прямой .

Доказательство:

Рассмотрим чертеж (рисунок 3). Координаты точки означают, что прямоугольный треугольник  имеет катеты и . Аналогично треугольник  имеет те же самые катеты. Таким образом, рассмотренные треугольники равны, и из их равенства следует равенство углов 1 и 2 и равенство гипотенуз и . Напомним, что прямая  является биссектрисой, отсюда углы  и  составляют по , таким образом, углы 3 и 4 равны (т. к. равны углы 1 и 2). Отсюда – биссектриса в равнобедренном треугольнике . Биссектриса, как известно, является осью симметрии для всего треугольника, в том числе и для интересующих нас точек и .

Доказанная теорема позволяет сделать вывод для любого :

График функции  при  симметричен графику функции  при  относительно прямой .

Свойства функции при четных n

Вернемся к функции , . Прочтем ее график и перечислим основные свойства.

1. Если аргумент возрастает от нуля до бесконечности, то функция также возрастает от нуля до бесконечности и проходит через точки , при любом ;

2. Область определения: ;

3. Функция общего вида (не является четной либо нечетной);

4. Функция возрастает на луче ;

5. Не ограничена сверху, но ограничена снизу;

6. Не имеет наибольшего значения, но имеет наименьшее значение ;

7. Непрерывна;

8. Область значений: ;

9. Выпукла вверх на луче . Это означает, что мы можем взять произвольные точки и на графике, соединить их отрезком и содержащийся между этими точками кусок графика будет находиться над отрезком;

10.  Функция имеет производную при любом большем нуля; при  функция не имеет производной, касательной в этой точке является ось .

График и свойства функции

Рассмотрим функцию , .

Докажем, что данная функция нечетная:

Итак, функция ,  нечетная, ее график симметричен относительно начала координат.

График функции проходит через точки , , .

Функция касается оси .

Аналогичными свойствами и особенностями обладают функции ,  при любом нечетном .

Решение примеров

Пример 1: построить схематически график функции

Построение:

1. Строим график функции , он проходит через точки и ;

2. Сдвигаем полученную кривую на две единицы вправо, график проходит через точки , ;

Пример 2: построить схематически график функции.

Построение:

1. Построим график функции , он проходит через точки , , ;

2. Сдвинем полученную кривую на одну единицу влево, новый график проходит через точки , , .

Итак, мы рассмотрели функции вида , их свойства и графики, на следующем уроке мы продолжим изучение этих важных функций.

Список литературы

1. Мордкович А.Г. Алгебра и начала математического анализа. – М.: Мнемозина.

2. Муравин Г.К., Муравина О.В. Алгебра и начала математического анализа. – М.: Дрофа.

3. Колмогоров А.Н., Абрамов А.М., Дудницын Ю.П. и др. Алгебра и начала математического анализа. – М.: Просвещение.

Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

1. Fizmat.by (Источник).

2. Studyport.ru (Источник).

Домашнее задание

1. Алгебра и начала анализа, 10–11 класс (А.Н. Колмогоров, А.М. Абрамов, Ю.П. Дудницын) 1990, № 443

2. Построить график функции:

а) ; б) ; в) ; г) .

3. Построить график функции и записать аналитическое выражение для функции, симметричной заданной относительно

а) начала координат; б) оси ; в) прямой ;

1. ; 2. ; 3. .