13. Функция y = cos t, число arccos a

Функция y=cost, ее свойства

Pассмотрим, каким же образом значениюпоставить в соответствие значение. Пусть t – любое число, для простоты пусть положительное:.

Рассмотрим единичную окружность (рис. 1), которая помещена в координатную плоскость. На пересечении окружности с осью абсцисс – точка, от нее откладываем против часовой стрелки значение. Получаем дугу. Значениеоткладываем против часовой стрелки и получаем точкуи дугу. Итак, если задано конкретное число, то получаем единственную точку М на единичной окружности, и эта точка имеет две координаты. Первую координату назвали косинусом –; вторую координату назвали синусом –. Итак, имеем:.

Таким образом, каждому значениюставится в соответствие единственным образом число, то есть задана функция.

Рассмотрим основные свойства функции:

1. Область определения:;

2. Область значений:;

3. Наименьший положительный период функции:. Это дает нам следующее следствие:для любого;

4. Функция четная:.

Отметим, что каждому значениюсоответствует единственная точка М на окружности:. При этом каждой точке М соответствует множество значенийтаких, что:.

График функции y=cost, графическое решение простейших уравнений

Рассмотрим график функции(рисунок 2).

Рис. 2. График функции

График функции сначала убывает от единицы до минус единицы на промежутке, потом возрастает до единицы на промежуткеи снова убывает до минус единицы и так далее.

Решим уравнение:.

Представлена обратная задача для функции: определить, при каких значениях аргумента функция принимает заданное значение.

Из графика очевидно, что уравнение имеет бесчисленное множество решений. Так,и т. д.

Запишем множество решений:.

Функция y=cost на интервале [0:π], важнейшие значения функции

Рассмотрим график функции.

На данном промежутке функция монотонно убывает от единицы до минус единицы и пробегает все свои значения.

Так, на данном интервале укажем наиболее важные точки:

Рис. 3. График функции

Важно, что на данном промежутке не только прямая задача имеет единственное решение, но и обратная задача имеет единственное решение. То есть, каждому значению функции соответствует единственное значение аргумента, оно и называется арккосинусом и является решением обратной задачи.

Понятие арккосинуса, определение арккосинуса по тригонометрической окружности

Определение

Арккосинусом числаназывается такое число, лежащее в пределах от нуля до пи, косинус которого равен:.

Свойство арккосинуса:

;

.

Например:(ищем на оси ординат точку, проводим к графику перпендикуляр, находим точку пересечения и определяем значение угла); по свойству:

.

Теперь напомним, как можно находить значения арккосинусов с помощью тригонометрической окружности (рис. 4).

Например, чтобы найти, ищем значениена осии находим соответствующую ему точку на окружности:. Аналогично,.

Арккосинусы часто применяются при решении тригонометрических уравнений.

Решение простейшего тригонометрического уравнения

Пример 1 – решить уравнение:.

Задано простейшее тригонометрическое уравнение с косинусом, все остальные уравнения сводятся к данному виду. Рассмотрим тригонометрический круг (рис. 5).

Осьсоответствует линии косинусов, на ней выбираем число, строим перпендикуляр и получаем две точки на единичной окружности –. Имеем множества значений, которые проектируются в точку. чтобы найти эти множества, вспомним, что арккосинус лежит в пределах. Так,

.

Полученные множества можно объединить в одно:

.

Частные случаи уравнений с косинусом

Рассмотрим важные частные случаи.

1. 

Рассматривая тригонометрическую окружность, несложно заметить, что перпендикуляр к линии косинусов со значением ноль проходит по осии данное значение достигается в двух семействах точек:и. (рис. 6). Так, имеем общее решение:

.

2.

Рассматривая тригонометрическую окружность, несложно заметить, что перпендикуляр к линии косинусов со значением единица проходит в правой точке окружности и данное значение достигается в семействе точек. (рис. 7). Так, имеем решение:

3.

Рассматривая тригонометрическую окружность, несложно заметить, что перпендикуляр к линии косинусов со значением минус единица проходит в левой точке окружности и данное значение достигается в семействе точек. (рис. 8). Так, имеем решение:

.

Итак, мы рассмотрели функциюи число, решили некоторые простейшие примеры и изучили частные случаи. Далее рассмотрим функциюи число.

Список литературы

1. Мордкович А.Г. Алгебра и начала математического анализа. – М.: Мнемозина.

2. Муравин Г.К., Муравина О.В. Алгебра и начала математического анализа. – М.: Дрофа. 

3. Колмогоров А.Н., Абрамов А.М., Дудницын Ю.П. и др. Алгебра и начала математического анализа. – М.: Просвещение.

Домашнее задание

1. Решить уравнение и проиллюстрировать решение на тригонометрической окружности:

   а);

   б);

   в);

   г);

   д).

2. Построить график функции:

   а);

   б);

   в);

   г);

   д).

    

Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

1. Интернет репетитор (Источник).

2. Старая школа (Источник).